Mersennovo Število

${\displaystyle M_{n}\equiv 2^{n}-1,\qquad (n>0)\!\,.}$

Mersenne je poskušal odkriti, katera števila takšne oblike so praštevila. Mersennova praštevila so v tesni povezavi s popolnimi števili. Trenutno (april 2024) je po vrsti znanih 44 Mersennovih praštevil za n enak (OEIS A000043):

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457 in 32.582.657.

in še 4 Mersennova praštevila za n enak:

37.156.667, 42.643.801, 43.112.609 in 57.885.161.

Ni pa znano ali obstaja še kakšno Mersennovo praštevilo, ki je manjše od 45., oziroma med zadnjimi štirimi.

Velja domnevna ocena za gostoto porazdelitve Mersennovih praštevil z eksponentom ${\displaystyle p$:

${\displaystyle e^{\gamma }\log(\log x)/\log 2\!\,,}$

kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Enakost:

${\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\!\,}$ 

kaže, da je ${\displaystyle M_{n}}$  lahko praštevilo le, če je tudi n praštevilo. Praštevilskost n je nujen, ne pa tudi zadosten pogoj, da je ${\displaystyle M_{n}}$  praštevilo. To dejstvo zelo poenostavlja iskanje Mersennovih praštevil. Obratna izjava, da je ${\displaystyle M_{n}}$  nujno praštevilo, če je n praštevilo, pa ne velja. Najmanjši protiprimer je ${\displaystyle 2^{11}-1=2047=23\cdot 89}$ , ki je sestavljeno število. Prva druga praštevila, za katera ${\displaystyle M_{n}}$  ni praštevilo, so (OEIS A054723):

11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, ...

Ni znano ali je takšnih števil neskončno mnogo. Ta praštevila si sledijo po vrsti, (11 je peto praštevilo, 23 deveto, itd.): (OEIS A135980):

5, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, ...

Vsota neskončne vrste obratnih vrednosti Mersennovih praštevil konvergira in je enaka konstanti:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{M_{n}}}&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{127}}+{\frac {1}{8191}}+{\frac {1}{131071}}+{\frac {1}{524287}}+{\frac {1}{2147483647}}+{\frac {1}{2305843009213693951}}+\ldots \\&=0{,}5164541789407\ldots \!\,,\end{aligned}}}$  (OEIS A173898).

Za prvih 100 števk konstante zadostuje prvih enajst Mersennovih praštevil.

Razpredelnica podaja vsa do sedaj znana Mersennova praštevila (OEIS A000668):

#	${\displaystyle n\,}$	${\displaystyle M_{n}\,}$	št. števk v ${\displaystyle M_{n}\,}$	datum odkritja	odkritelj	metoda
1	2	3	1	okoli 430 pr. n. št.	starogrški matematiki
2	3	7	1	okoli 430 pr. n. št.	starogrški matematiki
3	5	31	2	okoli 300 pr. n. št.	starogrški matematiki
4	7	127	3	okoli 300 pr. n. št.	starogrški matematiki
5	13	8191	4	1456	neznani	poskusno deljenje
6	17	131071	6	1588	Cataldi	poskusno deljenje
7	19	524287	6	1588	Cataldi	poskusno deljenje
8	31	2147483647	10	1772	Euler	izboljšano poskusno deljenje
9	61	2305843009213693951	19	november 1883	Pervušin	Lucasova zaporedja
10	89	618970019642...137449562111	27	junij 1911	Powers	Lucasova zaporedja
11	107	162259276829...578010288127	33	1. junij 1914	Powers	Lucasova zaporedja
12	127	170141183460...715884105727	39	10. januar 1876	Lucas	Lucasova zaporedja
13	521	686479766013...291115057151	157	30. januar 1952	Robinson	LLT / računalnik SWAC
14	607	531137992816...219031728127	183	30. januar 1952	Robinson	LLT / SWAC
15	1279	104079321946...703168729087	386	25. junij 1952	Robinson	LLT / SWAC
16	2203	147597991521...686697771007	664	7. oktober 1952	Robinson	LLT / SWAC
17	2281	446087557183...418132836351	687	9. oktober 1952	Robinson	LLT / SWAC
18	3217	259117086013...362909315071	969	8. september 1957	Riesel	LLT / računalnik BESK
19	4253	190797007524...815350484991	1281	3. november 1961	Hurwitz	LLT / računalnik IBM 7090
20	4423	285542542228...902608580607	1332	3. november 1961	Hurwitz	LLT / IBM 7090
21	9689	478220278805...826225754111	2917	11. maj 1963	Gillies	LLT / superračunalnik ILLIAC II
22	9941	346088282490...883789463551	2993	16. maj 1963	Gillies	LLT / ILLIAC II
23	11.213	281411201369...087696392191	3376	2. junij 1963	Gillies	LLT / ILLIAC II
24	19.937	431542479738...030968041471	6002	4. marec 1971	Tuckerman	LLT / računalnik IBM 360/91
25	21.701	448679166119...353511882751	6533	30. oktober 1978	Noll, Nickel	LLT / superračunalnik CDC Cyber 174
26	23.209	402874115778...523779264511	6987	9. februar 1979	Noll	LLT / CDC Cyber 174
27	44.497	854509824303...961011228671	13.395	8. april 1979	Nelson, Slowinski	LLT / superračunalnik Cray 1
28	86.243	536927995502...709433438207	25.962	25. september 1982	Slowinski	LLT / Cray 1
29	110.503	521928313341...083465515007	33.265	28. januar 1988	Colquitt, Welsh	LLT / superračunalnik NEC SX-2
30	132.049	512740276269...455730061311	39.751	19. september 1983	Slowinski	LLT / superračunalnik Cray X-MP
31	216.091	746093103064...103815528447	65.050	1. september 1985	Slowinski	LLT / Cray X-MP/24
32	756.839	174135906820...328544677887	227.832	19. februar 1992	Slowinski, Gage	superračunalnik Cray-2 v Harwell Lab
33	859.433	129498125604...243500142591	258.716	4. januar 1994	Slowinski, Gage	LLT / superračunalnik Cray C90
34	1.257.787	412245773621...976089366527	378.632	3. september 1996	Slowinski, Gage	LLT / superračunalnik Cray T94
35	1.398.269	814717564412...868451315711	420.921	13. november 1996	GIMPS / Joel Armengaud	LLT / progam Prime95 – 90 MHz Pentium PC
36	2.976.221	623340076248...743729201151	895.932	24. avgust 1997	GIMPS / Gordon Spence	LLT / Prime95 – 100 MHz Pentium PC
37	3.021.377	127411683030...973024694271	909.526	27. januar 1998	GIMPS / Roland Clarkson	LLT / Prime95 – 200 MHz Pentium PC
38	6.972.593	437075744127...142924193791	2.098.960	1. junij 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala	LLT / Prime95 – 350 MHz Pentium II IBM Aptiva
39	13.466.917	924947738006...470256259071	4.053.946	14. november 2001	GIMPS / Michael Cameron	LLT / Prime95 – 800 MHz Athlon T-Bird
40	20.996.011	125976895450...762855682047	6.320.430	17. november 2003	GIMPS / Michael Shafer	LLT / Prime95 – 2 GHz Dell Dimension
41	24.036.583	299410429404...882733969407	7.235.733	15. maj 2004	GIMPS / Josh Findley	LLT / Prime95 – 2.4 GHz Pentium 4 PC
42	25.964.951	122164630061...280577077247	7.816.230	18. februar 2005	GIMPS / Martin Nowak	LLT / Prime95 – 2.4 GHz Pentium 4 PC
43	30.402.457	315416475618...411652943871	9.152.052	15. december 2005	GIMPS / Cooper, Boone	LLT / Prime95 – 2 GHz Pentium 4 PC
44	32.582.657	124575026015...154053967871	9.808.358	4. september 2006	GIMPS / Cooper, Boone	LLT / Prime95 – 3 GHz Pentium 4 PC
45[*]	37.156.667	202254406890...022308220927	11.185.272	6. september 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich	LLT / Prime95 – 2.83 GHz Core 2 Duo PC
46[*]	42.643.801	169873516452...765562314751	12.837.064	12. april 2009[**]	GIMPS / Odd Magnar Strindmo	LLT / Prime95 – 3 GHz Core 2 PC
47[*]	43.112.609	316470269330...166697152511	12.978.189	23. avgust 2008	GIMPS / Edson Smith	LLT / Prime95 – Dell Optiplex 745
48[*]	57.885.161	581887266232...071724285951	17.425.170	25. januar 2013	GIMPS / Cooper	LLT / Prime95 – 3 GHz Intel Core2 Duo E8400

 

^{^ *} Ni znano ali obstaja kakšno Mersennovo praštevilo med 44. (M_32.582.657) in 48. (M_57.885.161) v tej razpredelnici. Zato so zadnje štiri zaporedne številke le začasne. Vsa Mersennova števila manjša od 47-ega (M_43.112.609) so bila preverjena vsaj enkrat, nekatera pa niso bila preverjena dvakrat. Nekatera Mersennova števila manjša od 48-ega niso bila preverjena. Praštevila ne odkrijejo vedno v naraščajočem vrstnem redu. 29. Mersennovo praštevilo je bilo na primer odkrito za 30. in 31. Prav tako je bilo 45. odkrito štirinajst dni za 47., ter 46. slabih sedem mesecev za 47.

^{^ **} Število M_42,643,801 je bilo prvič odktito na stroju 12. aprila 2009. Vendar nihče ni bil pozoren na to dejstvo vse do 4. junija. Tako se lahko oba datuma, 12. april ali 4. junij, štejeta za datum 'odkritja'. Odktitelj Strindmo je verjetno uporabil nadimek Stig M. Valstad.

Število M_43.112.609 je prvo odkrito praštevilo z več kot 10 milijoni desetiških števk. 48. znano Mersennovo praštevilo bi se zapisalo na 4647. straneh v desetiškem sistemu po 75 števk v vrstici in 50 vrstic na stran. Največje znano Mersennovo praštevilo (2^57,885,161 − 1) je hkrati tudi trenutno največje znano praštevilo.

Število 2305843009213693951 je deveto Mersennovo praštevilo in je enako ${\displaystyle 2^{61}-1}$ . Leta 1883 je Pervušin pokazal, da je praštevilo, in ga zato včasih imenujejo Pervušinovo število. Do leta 1911 je ostalo drugo največje znano praštevilo za številom ${\displaystyle 2^{127}-1}$ , katerega praštevilskost je že sedem let prej dokazal Lucas.

Konstanta neskončnega verižnega ulomka Mersennovih praštevil je:

${\displaystyle u_{\mathcal {M}}=[0;3,7,31,127,8191,131071,524287,2147483647,2305843009213693951,\ldots ]=0,318248158405\ldots \!\,.}$  (OEIS A242072).

• Erdős-Borweinova konstanta
• dvojno Mersennovo število
• Cantorjevo število

• Domača stran projekta GIMPS, ki se ukvarja z iskanjem Mersennovih števil. (angleško)