Число На Мерсен

${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$ (за n > 1).

Кръстено е на френския математик Марен Мерсен (1588 – 1648). Интерес за теория на числата представляват тези мерсенови числа, които са прости. Известни са под наименованието мерсенови прости числа. Ако едно мерсеново число ${\displaystyle M_{n}}$ е просто, то и ${\displaystyle n}$ би трябвало да е просто число. Обратното обаче не винаги е вярно. Например:

${\displaystyle M_{11}=2^{11}-1=2047=23\cdot 89}$

Това е и най-малкото мерсеново съставно число с експонента (${\displaystyle n}$) просто число. Най-малкото мерсеново число с експонента съставно число е:

${\displaystyle M_{4}=2^{4}-1=15=3\cdot 5}$

Простите мерсенови числа са тясно свързани със съвършените числа. Всички известни съвършени числа са четни и се получават по формулата:

${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ,

където ${\displaystyle 2^{n}-1}$  e мерсеновото число ${\displaystyle M_{n}}$ . Горната формула е използвана от Евклид за пресмятането на първите четири съвършени числа (6, 28, 496, 8128) и стига до нас с неговото съчинение „Елементи“. С помощта на тази формула търсенето на четни съвършени числа се свежда до търсене на мерсенови числа.

Все още не е известно дали простите мерсенови числа, а съответно и четните съвършени числа са безбройно много или са краен брой. Този математически проблем остава нерешен, въпреки че търсенето на мерсенови числа се извършва с помощта на много мощни компютри.

 

Революция в търсенето на мерсенови прости числа е въвеждането на електронните цифрови компютри. Първият успех на компютрите е M₅₂₁, открито на 30 януари 1952 г. с помощта на SWAC в Института по числен анализ в Калифорнийския университет — Лос Анжелис, с компютърна програма, написана и пусната от проф. Рафаел М. Робинсън. Следващо е M₆₀₇, намерено с компютър след по-малко от две години. Числата M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ и M₂₂₈₁ са намерени със същата програма няколко месеца по-късно. M₄₂₅₃ е първото мерсеново просто число титан, M₄₄₄₉₇ е първото мерсеново просто число гигант и M_6 972 593 е първото мерсеново просто мегачисло – с най-малко 1 000 000 цифри.

Първите четири мерсенови прости числа – ${\displaystyle M_{2}=3}$ , ${\displaystyle M_{3}=7}$ , ${\displaystyle M_{5}=31}$  и ${\displaystyle M_{7}=127}$  са били известни в античността. Петото – ${\displaystyle M_{13}=8191}$ , е с неизвестно авторство от 1461 г. Следващите две – ${\displaystyle M_{17}}$  и ${\displaystyle M_{19}}$ , са намерени от Пиетро Каталди през 1588 г. След близо два века, през 1772 г. Леонард Ойлер доказва, че ${\displaystyle M_{31}}$  е просто число. Исторически следващото ${\displaystyle M_{127}}$  е открито от френския математик Едуар Лука през 1876 г., резултат от 19-годишни изчисления на ръка. Вероятно това завинаги ще остане най-голямото мерсеново просто число, изчислено на ръка. След него през 1883 година руският свещеник и математик Иван Первушин открива ${\displaystyle M_{61}}$ . Числата ${\displaystyle M_{89}}$  и ${\displaystyle M_{107}}$  са намерени в началото на XX век от Ралф Пауърс през 1911 г. и съответно през 1914 г. Първите 12 мерсенови прости числа са открити без помощта на компютри.

Последователности A000043 (за ${\displaystyle n}$ ) и A000668 (за ${\displaystyle M_{n}}$ ) в OEIS.

1. ${\displaystyle M_{2}}$  = 3
2. ${\displaystyle M_{3}}$  = 7
3. ${\displaystyle M_{5}}$  = 31
4. ${\displaystyle M_{7}}$  = 127
5. ${\displaystyle M_{13}}$  = 8191
6. ${\displaystyle M_{17}}$  = 131 071
7. ${\displaystyle M_{19}}$  = 524 287
8. ${\displaystyle M_{31}}$  = 2 147 483 647
9. ${\displaystyle M_{61}}$  = 2 305 843 009 213 693 951
10. ${\displaystyle M_{89}}$  = 618 970 019 642 690 137 449 562 111
11. ${\displaystyle M_{107}}$  = 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127
12. ${\displaystyle M_{127}}$  = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

• Съвършено число
• Просто число