矩陣

一個${\displaystyle m\times n}$嘅矩陣係一個由${\displaystyle m}$行${\displaystyle n}$列元素排列成嘅矩形陣列，元素可以係數字、符號或者數式。下面係個${\displaystyle 2\times 3}$嘅矩陣：

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\1&2&3\\\end{bmatrix}}}$$

喺電腦科學上，「矩陣」最廣義可以泛指 2D 嘅陣列。

一個矩陣係由一啲元素組成嘅方型矩陣。

矩陣入面嘅嘢係叫元素（Elements），佢哋會排成橫行（horizontal rows）同直行（vertical columns）。

喺中國大陸，橫向嘅元素係叫「行」，縱向嘅係叫「列」；而喺台灣就係相反。

例子

買T恤嘅例子：如果紅色嘅要${\displaystyle 3}$ 件中碼、${\displaystyle 1}$ 件大碼；黃色嘅要${\displaystyle 9}$ 件細碼、${\displaystyle 5}$ 件中碼；綠色嘅要${\displaystyle 9}$ 件細碼、${\displaystyle 5}$ 件中碼；藍色就要${\displaystyle 1}$ 件中碼；紫色就要${\displaystyle 1}$ 件大碼。咁就以上嘅資料，就可以寫成以下呢個矩陣。

$${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&9&9&0&0\\3&5&5&1&0\\1&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

 

基本嘅樣

一個${\displaystyle m\times n}$ 矩陣${\displaystyle A}$ （m by n matrix），係呢個樣：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle A}$ 入面嘅元素${\displaystyle a_{ij}}$ ，${\displaystyle ij}$ 係${\displaystyle a_{ij}}$ 嘅置數（index，indices）代表住${\displaystyle a_{ij}}$ 係${\displaystyle A}$ 入面嘅第${\displaystyle i}$ 行第${\displaystyle j}$ 棟。

矩陣嘅基數（order）係指個矩陣會有幾大。一個${\displaystyle m\times n}$ 嘅矩陣係一個由${\displaystyle m}$ 列${\displaystyle n}$ 行元素排列成；而${\displaystyle m\times n}$ 就係呢個矩陣嘅基數。

例子

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{bmatrix}}}$ 

咁矩陣${\displaystyle A}$ 嘅基數就係${\displaystyle 2\times 3}$ 。

單位矩陣（identity matrix，通常用I或E表示）係一種正方形矩陣，主對角線上面嘅元素全部係 ${\displaystyle 1}$  ，其他位置全部係 ${\displaystyle 0}$ 。例如：

${\displaystyle I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\ ,\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\ ,\ I_{4}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$ 

任何矩陣(A)同單位矩陣乘埋(如果可以乘)都會等於自己本身。即係：

${\displaystyle A_{m\times n}I_{n}=A_{m\times n}\ ,\ I_{m}A_{m\times n}=A_{m\times n}}$ 

可見單位矩陣就好似數字嘅1噉。

零矩陣，即係所有元素都係0嘅矩陣，通常用大階O代表。例如：

${\displaystyle O_{1,2}={\begin{bmatrix}0&0\\\end{bmatrix}}\ ,\ O_{3,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix}}\ ,\ O_{2,4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ 

零矩陣同任何矩陣(A)乘埋(如果可以乘)都會等於零矩陣。即係：

${\displaystyle OA=O\ ,\ AO=O}$ 

任何矩陣(A)同零矩陣加埋(如果可以加)都會等於自己本身。即係：

${\displaystyle A+O=A\ ,\ O+A=A}$ 

可見零矩陣就好似數字嘅0噉。

一個${\displaystyle m\times n}$ 嘅矩陣入面，第${\displaystyle (1,1),(2,2),(3,3),\cdots }$ 嘅元素就係叫做對角元素（diagonal element）。

用數學形式寫，就係所有嘅${\displaystyle [a_{ii}]}$ 嘅元素。

係一個${\displaystyle m\times n}$ 嘅矩陣睇，所有嘅${\displaystyle [a_{ii}]}$ 嘅元素就係矩陣由左上到右下條對角線上面嘅元素。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}}$ 

如果一個矩陣，佢嘅基數係${\displaystyle n\times n}$ 。咁呢個矩陣就係一個正方形。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}}$ 

咁${\displaystyle a_{11},a_{22},a_{33},\cdots ,a_{nn}}$ 就會係呢個矩陣嘅對角線（Diagonal）。

加法，只須要對位運算。好似噉：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&d\\b&e\\c&f\\\end{bmatrix}}\ +\ {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}a+1&d+4\\b+2&e+5\\c+3&f+6\\\end{bmatrix}}}$ 

矩陣乘法係左橫乘右棟。就好似：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\\\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}e&g\\f&h\\\end{bmatrix}}\ =\ {\begin{bmatrix}ae+cf&ag+ch\\be+df&bg+dh\\\end{bmatrix}}}$ 

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