Математика Матрица

В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от величини, най-често числа (числова матрица), наричани елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са числа, вектори, функции или други математически обекти. Те могат да бъдат от произволно поле (например ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$) или пръстен. Матриците и матричната алгебра са основни в линейната алгебра. Те се използват за решаване на линейни системи, линейни преобразувания и собствени стойности. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба:

$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$$

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като F_mxn.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-2&7\\15&1&-0,14\\3&5&6\\\pi &-7&0\end{bmatrix}}}$$

Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – a_ik или A_ik, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата. Освен скоби от вида [ ], е възможно изписване с ( ) и ${\displaystyle \parallel \ \ \parallel }$ 

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (a_ii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

$${\displaystyle a_{ii},i=1..n}$$

 

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (a_ij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

$${\displaystyle a_{1n},a_{2n-1},..,a_{n1}}$$

 

Най-често се използват матрици с елементи от полето ${\displaystyle \mathbb {R} }$  и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . В първия случай матрицата се нарича реална, а във втория – комплексна.

• нулева матрица (0) – матрица, при която всички елементи са нули:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

 

• квадратна матрица – матрица с равен брой на редове и колони:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$$

 

• правоъгълна матрица – матрица с различен брой редове и колони:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}}$$

 

• триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0&7\\0&1&-3\\0&0&5,3\end{bmatrix}}}$$

 

• диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&5\end{bmatrix}},\ i\neq j\Rightarrow a_{ij}=0}$$

 

• скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}}$$

 

• единична матрица (E) – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

 

• еднакви матрици – когато ${\displaystyle a_{ik}=b_{ik}}$ , тоест съответните им елементи са равни.
• симетрична матрица – квадратна матрица ${\displaystyle A(a_{ij})}$ , за която е изпълнено ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji},\forall i,j}$ :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&6&7\\6&2&8\\7&8&3\end{bmatrix}}}$$

 

• антисиметрична матрица – квадратна матрица ${\displaystyle A(a_{ij})}$ , за която е изпълнено ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji},\forall i,j}$ :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{bmatrix}}}$$

 

• смяна на местата на два реда:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}c&d\\a&b\\e&f\end{bmatrix}}}$$

 

• прибявяне на един ред на матрица към друг:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}a+d&b+e&c+f\\d&e&f\end{bmatrix}}}$$

 

• умножаване на ред на матрицата с число различно от 0:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}a&b\\\lambda c&\lambda d\\e&f\end{bmatrix}},\lambda \neq 0}$$

 

Транспониране

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с A^T и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. а^T_ij = а_ji. Пример:

$${\displaystyle A_{m\times n}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\10&11&12\end{bmatrix}},\quad A_{n\times m}^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7&10\\2&5&8&11\\3&6&9&12\end{bmatrix}}}$$

 

Събиране

Събират се само матрици от един и същи ред. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2,7&0\\3&1&x\\\pi &2,4&x\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2,5&3,3&0\\2&1&2x\\4&2,4&y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3,5&6&0\\5&2&3x\\4+\pi &4,8&x+y\end{bmatrix}}}$$

 

Свойства:

• комутативност: ${\displaystyle {\mathsf {A+B=B+A}}}$ 
• асоциативност: ${\displaystyle {\mathsf {A+(B+C)=(A+B)+C}}}$ 
• дистрибутивност: ${\displaystyle {\mathsf {(c+d)A=cA+dA}}}$ , ${\displaystyle {\mathsf {c(A+B)=cA+cB}}}$ 
• неутралност на нулевата матрица: ${\displaystyle {\mathsf {A+0=0+A=A\forall A}}}$ 
• ${\displaystyle {\mathsf {A+C=B+C}}}$ , където A и B са еднакви матрици
• противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила ${\displaystyle {\mathsf {A+(-A)=0}}}$ 
• разликата на матриците А и В е матрицата ${\displaystyle {\mathsf {C=A+B}}}$ , като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест ${\displaystyle {\mathsf {A-B=A+(-B)}}}$ :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&1\\1&2&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}3&-2&1\\0&5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1&2\\1&7&5\end{bmatrix}}}$$

 

Умножение на матрица с число (скалар)

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

$${\displaystyle \lambda A={\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots &\lambda a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots &\lambda a_{mn}\end{bmatrix}}}$$

 

Свойства:

• ${\displaystyle {\mathsf {1A=A}}}$ 
• ако ${\displaystyle {\mathsf {c,d\in \mathbb {R} }}}$ , то ${\displaystyle {\mathsf {c(dA)=(cd)A}}}$ 
• ако А и В са еднакви матрици, то ${\displaystyle {\mathsf {{\mathit {k}}A={\mathit {k}}B}}}$ 

Умножение на матрици

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението C_{m x p} на A_{m x n} и B_{n x p} се дефинира с равенството:

$${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}}$$

 

Тоест всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\0&-2\\4&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}7&9\\5&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1*7+3*5&1*9+3*2\\0*7+(-2)*5&0*9+(-2)*2\\4*7+1*5&4*9+1*2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}22&15\\-10&-4\\33&38\end{bmatrix}}}$$

 

Свойства:

• две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
• комуникативност – не е в сила за произволни матрици
• асоциативност: ${\displaystyle {\mathsf {A(BC)=(AB)C}}}$ 
• дистрибутивност: ${\displaystyle {\mathsf {A(B+C)=AC+BC}}}$ 

При дадена произволна матрица ${\displaystyle {\mathsf {A}}}$  с размерност ${\displaystyle m\times n}$  можем да разгледаме нейните редове като n-мерни вектори:

${\displaystyle a_{1}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle a_{2}={\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots }$ 

${\displaystyle a_{m}={\begin{bmatrix}a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$ ,

а колоните ѝ – като m-мерни вектори:

${\displaystyle a^{1}={\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}}$ , ${\displaystyle a^{2}={\begin{bmatrix}a_{21}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}}$  ${\displaystyle \cdots }$  ${\displaystyle a^{n}={\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}}$ .

Размерността ${\displaystyle r_{x}}$  на подпространоството (в повечето случаи подпоространство на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ) ${\displaystyle {\mathit {V}}_{x}}$  се нарича хоризонтален, или ред-ранг на матрицата ${\displaystyle |A|_{mn}}$ , а размерността ${\displaystyle r_{b}}$  на подпространостното ${\displaystyle {\mathit {V}}_{b}}$  – вертикален, или стълб-ранг на матрицата.

Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:

${\displaystyle {\mathsf {|A|}}=\Delta _{0}=\textstyle \sum (-1)^{\mathit {I}}a_{1}k_{1}.a_{2}k_{2}\dots a_{n}k_{n}\displaystyle }$ ,

където сумата е по всички пермутации (k₁k₂ … k_n) на числата 1,2,…,n и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация – ${\displaystyle k_{i}>k_{j}}$ , при ${\displaystyle i$ .

В сила е нотацията ${\displaystyle {\mathsf {|A|}}=det[A]=\Delta _{0}}$ .

Ако детерминантата на матрицата е различна от 0 (редовете ѝ са линейно независими), матрицата е линейно преобразувание. Нейно харктеристично уравнение е ${\displaystyle {\mathsf {A^{2}}}:={\mathsf {AA}}}$ 

Пресмятане на детерминанта

За детерминанта от първи ред:

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a}$$

 

За детерминанта от втори ред:

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc}$$

 

За детерминанта от трети ред:

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg}$$

 

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

$${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}=a_{11}a_{22}...a_{nn}.}$$

 

Детерминанта от n-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от n-ти ред се получават n детерминати от (n-1)-ви ред.

•   В Общомедия има медийни файлове относно Матрица (математика)
• ((en)) Статия „Матрица“ в Wolfram MathWorld