Matematik Matris

Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

Bir diğer deyişle matris, doğal sayıları dikdörtgen halinde dizip gösteren bir tablodur. Örneğin:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}12&83&16\\21&22&17\\14&9&20\\16&0&5\end{bmatrix}}.}$

Bir diğer notasyona göre dikdörtgen parantezler yerine eğri şekilli parantez kullanılır:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}9&8&6\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix}}.}$

Bir matrisdeki düz yatay sıraya satır dikey sıraya sütun adı verilir. Bir matris içinde dizili gösterilen sayılar öğe veya eleman olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü satır ve sütun sayılarıyla ifade edilir. Yukarıdaki matrisler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdir.

Genel matematiksel notasyon olarak bir matris tek büyük harf ile ifade edilir. Bazen, daha açık olarak vurgulu kalın harf ile gösterilir. Bu vurgu bilgisayar ile yazılırsa kalın yazıyla; elle yazılırsa matris harfinin altına bir (bazen iki) çizgi veya küçük dalgalı bir çizgi koymak suretiyle yapılır. Farklı bir notasyon da matrisin parantez içinde küçük harfle ifade edilen genel elemanını i satır ve j sütun alt indisli ve parantez dışında matris büyüklüğü ile vermektir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A matrisi aşağıdaki şekillerde gösterilebilir:

1. A veya
2. ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ veya
3. ${\displaystyle \ A=[a_{ij}]_{mxn}}$

Böylece genel olarak m ve n pozitif tamsayılar, ${\displaystyle i\in \{1,2,3,4,\cdots ,m\}}$ ve ${\displaystyle j\in \{1,2,3,4,\cdots ,n\}}$ olmak üzere ${\displaystyle a_{i,j}}$ sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosu matris (dizey) olur. m, matrisin satır sayısını; n ise matrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrise ${\displaystyle mxn}$ türünden matris denir:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{m,n}={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}}$

Kare matris

Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdir.
${\displaystyle A_{2,2}={\begin{bmatrix}2&-1\\0&5\\\end{bmatrix}}}$ 
A dizeyi 2x2 türünden bir kare matrisdir.

Birim matris

Kare matrislerin yaygın bir örneği ise, köşegenin üzerindeki öğelerinin 1 geri kalan yerlerdeki öğelerin 0 olduğu birim matristir. Satır ve sütun sayısı n olan bir birim matrisi göstermek için (başka bir yerde kullanılmamışsa) genelde In kullanılır. Mesela, 3x3'lük bir birim matris

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$ 

şeklinde gösterilir.

Sıfır matris

Tüm elemanları sıfır olan matrisdir.
${\displaystyle A_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ 
A dizeyi 2x3'lük bir sıfır matrisdir.

Satır ve sütun matris

Sadece bir satırdan oluşan matrislere satır matris, sadece bir sütundan oluşan matrislere ise sütun matris denir.
${\displaystyle A_{m,n}={\begin{bmatrix}0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle B_{m,n}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\\end{bmatrix}}}$ 

Eğer bir matrisin boyutlarından biri 1 ise (yani ya satır sayısı 1 veya sütun sayısı 1 ise yani satır matrisi veya sütun matrisi ise) bu matris, bir yöney veya vektör veya Euclid-tipi vektör olarak da tanımlanır.

Matrisler için sayıyla çarpma ve matris çarpımı farklı kavramlardır.

Matris toplaması

Matrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.

İki matrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir.

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} +\mathbf {B} \implies c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$ 

Örnek:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$ 

Sayıyla (Skalerle) çarpma

Bir matris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.

${\displaystyle c_{ij}=ka_{ij}}$ 

Örnek:

${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$ 

Transpoz

mxn boyutlu bir ${\displaystyle A}$  matrisinin transpozu nxm boyutlu ${\displaystyle A^{T}}$  matrisidir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle A^{T}}$  matrisi ${\displaystyle A}$ 'nın satırlarını sütun yaparak elde edilir. Transpoz işlemi, matrisin ifade ettiği dönüşümün yönünü tersine çevirir.

Matris çarpımı

Matris çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki matris için matris çarpımı işlemi yapılamaz.

Çarpımı istenen iki matris için ilk önce matrislerden hangisinin ön-çarpan matris, hangisinin art-çarpan matris olduğunun belirlenmesi gerekir. Çünkü çarpma işlemi, sayılarda değişmelidir, fakat matrislerde değildir. Yani genel olarak A ve B matrisi için A·B ≠ B·A

A·B matris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan, B·A matris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki matris çarpımı notasyonla belirtilmekle beraber ya "A·B" ya "B·A" ya da hem "A·B" hem "B·A" geçerli olmayabilir.

Matris çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitse mümkündür. Yani (p * j) boyutlu A matrisi ile (k * l) boyutlu B matrisinin çarpımı ancak "j = k" ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir. Eğer matris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisi, ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matris sütun sayısı boyutludur Yani eğer "j = k" ise, matris çarpımı sonucu matrisi (p * l) boyutludur.

Sayısal bir örnek olarak, A matrisi (2 * 3) boyutlu ise ve B (3 * 4) boyutlu ise matris çarpımı (A·B), "j = k" (3 = 3) olduğu için geçerlidir ve matris çarpımı işlemi sonuç matrisi (2 * 4) boyutludur; ama B·A matris çarpımı işlemi geçerli değildir; çünkü "j ≠ k" (4 ≠ 2).

 

Matris çarpımının algoritması şu şekildedir: İlk öğenin i'nci satırının bileşenleriyle, ikinci öğenin j'nci sütununun bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.

A, mxn boyutlu B de nxs boyutlu dizeyler olmak üzere mxs boyutlu sonuç dizey
${\displaystyle A_{m\times n}B_{n\times s}=C_{m\times s}}$ 
olarak tanımlanır ve her öğesi
${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}$ 

ile bulunur.

Örnekler

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}$ 

Çarpmayı, ilk öğenin her satırını bir yöney ve ikinci öğenin her sütununu bir yöney olarak düşünüp ilk öğeyi bir sütun yöney ve ikinci öğeyi bir satır yöney olarak yöney iç çarpımına indirgeyebiliriz. Örneğin, ${\displaystyle {\vec {a}}}$  ve ${\displaystyle {\vec {b}}}$  yöneyleri n boyutlu olmak üzere,

${\displaystyle A_{m\times n}={\begin{bmatrix}{\vec {a_{1}}}\\\cdots \\{\vec {a_{m}}}\end{bmatrix}}}$  ve ${\displaystyle B_{n\times s}={\begin{bmatrix}{\vec {b_{1}}}&&\cdots &&{\vec {b_{s}}}\end{bmatrix}}}$ 

şeklinde düşünüldüğünde çarpım,

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}{\vec {a_{1}}}\cdot {\vec {b_{1}}}&&\cdots &&{\vec {a_{1}}}\cdot {\vec {b_{s}}}\\\vdots &&\ddots &&\ddots \\{\vec {a_{m}}}\cdot {\vec {b_{1}}}&&\cdots &&{\vec {a_{m}}}\cdot {\vec {b_{s}}}\end{bmatrix}}}$ 

biçimini alır. Bu şekilde düşünmek kâğıt üzerinde dizeyleri çarparken işe yarayabilir ve zaman kazandırır.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0\\-1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7&-1\\3&6\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}(3,0)\\(-1,2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(7,3)&(-1,6)\end{bmatrix}}}$
	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}(3,0)\cdot (7,3)&&(3,0)\cdot (-1,6)\\(-1,2)\cdot (7,3)&&(-1,2)\cdot (-1,6)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}21&&-3\\-1&&13\end{bmatrix}}}$

Kronecker (Doğrudan) toplama

Bu toplamın sonucu bir matrisler köşegenidir.

${\displaystyle C=\oplus _{i=1}^{k}A_{i}={\text{kosegen}}\left(A_{1},A_{2},...,A_{k}\right)=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{k}\\\end{array}}\right]}$ 
burada sonuç dizeyin boyutları, toplanan dizeylerin doğrudan boyutları toplamı kadardır.

Kronecker (Doğrudan) çarpım

Bu çarpım ilk öğenin her bileşenini ikinci öğeyle doğrudan çarpmayla tanımlanır.

${\displaystyle A_{m\times n}\otimes B_{r\times s}=\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\a_{21}B&a_{22}B&\cdots &a_{2n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\\\end{array}}\right]}$ 
buradan,
${\displaystyle C_{(mr)\times (ns)}=\left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{12}b_{11}&\cdots \\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{12}b_{21}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\quad &\quad \\a_{21}b_{11}&a_{21}b_{12}&\quad &\ddots &\quad \\\vdots &\vdots &\quad &\quad &\ddots \\\end{array}}\right]}$ 

Cebirsel ifade bir ya da birden fazla cebirsel terimin aynı ifade de yer almasına denir. Örneğin x sayısı gibi. Cebirsel ifadelerde en çok kullanılanlar: x,y,n dir. Cebirsel ifadelerle kurulmuş iki eşitliğe denklem denir. Mesela x+5=2x+2 çözüm bilenenler bir tarafa bilinmeyenler bir tarafa gönderilir. Öteki tarafa geçerken zıt işaret verilir yani: +5-2=2x-x sadeleştirirsek 3=x

Bir doğrusal denklem sistemi matrislerle ifade edilebilir.

Örnek olarak dört bilinmeyenli (x₁, x₂, x₃ ve x₄) dört tane doğrusal denklemler sistemi ele alınsın. Bu denklemlerdeki katsayılar, i denklem numarası ve j bilinmeyen numarası ile indislenerek a_i,j olarak ifade edilebilir. Bu doğrusal denklemler sistemi şöyle yazılır:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+a_{14}x_{4}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+a_{24}x_{4}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+a_{34}x_{4}&=b_{3}\\a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}+a_{44}x_{4}&=b_{4}\end{aligned}}~.}$ 

Bu denklemler sistemi matris kullanılarak şöyle ifade edilir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}~.}$ 

Daha kısa bir notasyonla şöyle yazılabilir:

${\displaystyle \left[{\mathsf {A}}\right]\left[{\mathsf {x}}\right]=\left[{\mathsf {b}}\right]~~~~{\text{veya}}~~~~\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} ~.}$ 

Burada ${\displaystyle \mathbf {A} }$  ${\displaystyle 4\times 4}$  boyutlu matrisdir; ${\displaystyle \mathbf {x} }$  ve ${\displaystyle \mathbf {b} }$  ${\displaystyle 4\times 1}$  boyutlu sutun matrislerdir.

Genel olarak n sayıda değişkenli m sayıda doğrusal denklemden oluşan şu doğrusal denklemler sistemi:

A_1,1x₁ + A_1,2x₂ + ... + A_1,nx_n = b₁
...
A_m,1x₁ + A_m,2x₂ + ... + A_m,nx_n = b_m

çok kolayca bir denklemler matrisi olarak ifade edilebilir. Bunun için x yöneyi n değişken ('x₁, x₂, ..., xn) için bir n-sütun yöneyi (yani 'n×1-matrisi); A matrisi mxn boyutlu katsayılar matrisi ve b n-sutun yöneyi halindeki denklem sabitleri olursa, herhangi bir doğrusal denklem sistemi matris denklemi olarak şöyle ifade edilir:

Ax = b.

Doğrusal denklemler sistemlerinin çözülmesi için matris kavramlarının kullanılmasının çok uzun bir tarihi bulunmaktadır. Doğrusal denklemler sistemlerin ilk matris kullanarak açıklanıp çözülmesi, özellikle kare matrislerle ifade edilip determinant kullanımı dahil, MÖ.300 ile MS.200 arasında yazılmış olan Jiu Zhang Suan Shu (Matematik Sanatinda Dokuz Bölüm) adlı eserde bulunduğu anlaşılmıştır. Bu eserden Batı Avrupa matematikçileri hiç haberdar olmamışlardır. Bundan sonra matris kavramı 2000 yıl kadar sonra 1683'te "Seki Kowa" adlı Japon matematikçisi ve Batı Avrupa'da ilk defa 1693de Alman matematikçisi Leibniz tarafından ortaya atılmış ve ilk determinant kullanarak pratik çözüm olarak Cramer'in kuralı 1750'de Gabriel Cramer tarafından gösterilmiştir.

Matris teorisinin Batı Avrupa'da geliştirilmesi daha çok determinant kavramına önem vermekteydi. Determinanttan bağımsız olarak matris matematiğinin geliştirilmesi 1858'de Arthur Cayley tarafından Memoir on the theory of matrices (Matris teorisi hakkında bir not) adında eserle başlamıştır. Matris terimi isim olarak ilk defa J.J.Syvester adlı İngiliz matematikçisi tarafından kullanılmıştır. Bu matematikçi determinantları açıp sayısal değerlerini bulmak için sütun ve satırları silip gittikçe daha küçük determinant (minor) elde ederek bu sonuca bulma üzerinde uğraşı göstermiş ve sanki bir ana determinanttan gittikçe küçülen "çocuk" determinantların bulunmasından ilham alarak şimdi matris olarak adlandırdığımız kavrama Latince kökten mater (anne) sözcüğünden çıkardığı matrix adını vermiştir.

Hem matematikte hem de diğer bilimlerde matrislerin çok sayıda uygulaması vardır. Bazıları yalnızca bir matristeki bir dizi sayının kompakt temsilinden yararlanır. Örneğin, oyun teorisi ve ekonomi'de ödeme matrisi, oyuncuların belirli (sonlu) alternatifler arasından hangisini seçtiğine bağlı olarak iki oyuncu için getiriyi kodlar. Metin madenciliği ve otomatikleştirilmiş Tesarus derlemesi, çeşitli belgelerdeki belirli kelimelerin sıklıklarını izlemek için örneğin tf-idf gibi belge-terim matrislerini kullanır.

Karmaşık sayılar, karmaşık sayıların ve matrislerin toplanması ve çarpılmasının birbirine karşılık geldiği

${\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},}$ 

aracılığıyla belirli gerçek 2'ye 2 matrislerle temsil edilebilir.

Örneğin 2'ye 2 döndürme matrisleri, yukarıda gibi bazı mutlak değer 1 karmaşık sayısıyla çarpmayı gösterir. Genel olarak dördeyler ve Clifford cebirleri için de benzer bir yorum mümkündür.

Hill cipher gibi eski şifreleme teknikleri de matrisleri kullandı. Ancak matrislerin doğrusal doğası nedeniyle bu kodların kırılması nispeten kolaydır.

Bilgisayar grafikleri teorik kamera gözlemine karşılık gelen, üç boyutlu bir nesneyi iki boyutlu bir ekrana yansıtmak gibi görevleri gerçekleştirmede afin dönüş matrislerini kullanarak nesnelerin dönüşümlerini hesaplamada ve keskinleştirme, bulanıklaştırma, kenar algılama vb görüntü kıvrımlarını uygulamada nesneleri temsil için matrisleri kullanır. Polinom halkası üzerindeki matrisler, kontrol teorisi çalışmasında önemlidir.

Kimya'da özellikle kuantum teorisi moleküler bağı ve spektroskopiyi anlatmak için kullanıldığından beri matrisler çeşitli şekillerde kullanılmaktadır. Hartree–Fock yönteminin moleküler orbital'lerini elde etmek için Roothaan denklemlerini çözmek için kullanılan örtüşme matrisi ve Fock matrisi kimyadaki bazı kullanım örnekleridir.

Grafik teorisi

 

Bir sonlu grafiğin bitişik matrisi, grafik teorisi'nin temel kavramıdır. Grafiğin hangi köşelerinin bir kenarla bağlandığını kaydeder. Yalnızca iki farklı değer içeren matrislere (1 ve 0 sırasıyla "evet" ve "hayır" anlamına gelir) mantıksal matrisler denir.

Mesafe matrisi kenarların mesafeleri hakkında bilgi içerir. Bu kavramlar, hiperlinkler ile bağlanan web sitelerine veya karayolu vb. ile bağlanan şehirlere uygulanabilir bu durumda (bağlantı ağı aşırı derecede yoğun olmadığı sürece) matrisler seyrek olma eğilimindedir yani sıfır olmayan birkaç giriş içerir. Bu nedenle özel uyarlanmış matris algoritmaları ağ teorisinde kullanılabilir.

Analiz ve Geometri

Türevlenebilir bir ƒ fonksiyonunun Hesse matrisi: Rⁿ → R, ƒ 'nin birkaç koordinat yönüne göre ikinci türevlerinden oluşur yani,

${\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].}$ 

 

Fonksiyonun yerel büyüme davranışı hakkındaki bilgileri kodlar: x = (x₁, ..., x_n), kritik noktası verildiğinde, yani ƒ'in birinci kısmi türevlerinin ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$  sıfır olduğu noktada Hesse matrisi pozitif tanımlıysa, fonksiyonun yerel bir minimumu vardır. İkinci dereceden programlama, matrislere bağlı olanlarla yakından ilişkili ikinci dereceden fonksiyonların global minimum veya maksimumlarını bulmak için kullanılabilir.(bkz. yukarıda)

Geometrik durumlarda sıklıkla kullanılan başka bir matris, Rⁿ → R^m türevlenebilir bir haritanın Jacobi matrisidir. Eğer f₁, ..., f_m, f'nin bileşenlerini gösteriyorsa, Jacobi matrisi şu şekilde tanımlanır

${\displaystyle J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.}$ 

n > m ise ve Jacobi matrisinin rankı maksimum değeri mye ulaşıyorsa, f bu noktada örtük fonksiyon teoremi ile yerel olarak tersinebilir.

Kısmi diferansiyel denklemler, denklemin en yüksek mertebeden diferansiyel operatörlerinin katsayı matrisi dikkate alınarak sınıflandırılabilir. Eliptik kısmi diferansiyel denklemler için bu matris pozitif tanımlıdır ve söz konusu denklemin olası çözüm kümesi üzerinde belirleyici bir etkiye sahiptir.

Sonlu elemanlar yöntemi, karmaşık fiziksel sistemleri simüle etmede yaygın olarak uygulanan, kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için önemli bir sayısal yöntemdir. Parçaların yeterince ince bir ızgaraya göre seçildiği ve bunun da bir matris denklemi olarak yeniden şekillendirilebildiği parçalı lineer fonksiyonlarla bazı denklemlerin çözümüne yaklaşmaya çalışır.

• İngilizce Wikipedia "Matrix (mathematics)" maddesi:[1]10 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:15.3.2010)