Jules Henri Poincare喺1904年嘅猜想:
阿 Jules Henri 本係1900年希望同調群零(唔使同倫群零,一個弱啲嘅條件)就夠, 但佢自己好快發現咗個反例 -- 著名嘅龐加萊同調球(又叫正十二面體空間)。
問題可簡化成
可能因為條問題太簡單,所以難入手。 雖然佢嘅高維數姐妹題, 分別由兩位天才 Stephen Smale(五維以上,1960's) 同Michael Freedman(四維,1982)解決;但係嗰的方法喺三維行唔通。(想知詳情嘅讀者可問一問丘成桐教授)
1970年代,William Thurston 提出:任何一個三維流形都可以被切成幾舊,每舊都屬於佢指定嘅八種類型幾何之一。
龐加萊猜想係幾何化構想嘅特例;(Geometrization Conjecture => Poincare's Conjecture)。
Hamilton 嘅構想唔太難理解。佢要個三維流形嘅度量 gij 沿一特定方向變化 (即係 Ricci 流; "Ricci" 指Ricci張量 Rij;可變量 t 係「時間」),嘗試令到個三維流形平平均均,睇渠到極限時變成點樣。但一邊平另一邊又可能會突起,所以中途可能會產生 奇異集 (singularity),咁就要切開佢。到最後, 你會得到三維流形嘅自然分解,實現 Thurston 嘅構想.
但實行起來就有好多技術問題,例如:中途會產生邊種奇異集? 點樣控制? 想知詳情嘅讀者可問一問專家.(例如,寫個電郵畀Grisha)。
係2002年,聖彼得堡Steklov數學院嘅Grigory Perelman(一位研究Alexandroff 空間同埋 Ricci 流嘅專家)係 www.arXiv.org 出咗篇文章,入面第三頁話:
Grisha後又來登咗兩篇文章補充, 但到底佢有無完全證明龐加萊猜想,就好難講;佢短短三篇文,非常難理解,好多專家研究到現今,先至出咗幾篇幾百頁嘅論文. 總之,佢貢獻好大,好關鍵。
Grisha 係2003年春天,訪問咗麻省理工學院一個星期,跟住訪問紐約石溪州立大學兩個星期,講咗十幾場報告。
Grisha嘅一啲構築嘅啟發來自量子場論、重整群理論 (見 p.3, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Gregory Perelman, November,2002 ); 但佢無詳細講清楚。
各方專家嘅解讀:
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