Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі.
Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.
Задачы тысячагоддзя |
---|
Роўнасць класаў P і NP |
Гіпотэза Ходжа |
Гіпотэза Рымана |
Квантавая тэорыя Янга — Мілса |
Існаванне і гладкасць рашэнняў ураўненняў Наўе — Стокса |
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера |
У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:
Усякая адназвязная кампактная трохмерная мнагастайнасць без краю гомеаморфная трохмернай сферы. |
Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:
Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n гоматапічна эквівалентная сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй. |
Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.
Паток Рычы — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных , падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці . Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію» — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную прамому здабытку ), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.
Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны сферычнай прасторавай форме .
Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм , злучаных адна з адною трубкамі . Падлік фундаментальнае групы паказвае, што дыфеаморфная звязнай суме набору прасторавых форм , і больш таго, усе трывіяльныя. Такім чынам, з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.
У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ , і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.
Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Зееманам ). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.
Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам , які таксама першым прымяніў паток Рычы.
This article uses material from the Wikipedia Беларуская article Гіпотэза Пуанкарэ, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Матэрыял даступны на ўмовах CC BY-SA 4.0, калі не пазначана іншае. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Беларуская (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.