實數

加減乘除之法，列在符號之前，被動之數，古稱實數，單稱實。

正數者，線段之長也。

求加減乘除，以尺規作圖法。

線段首尾相接，得二數之和。線段齊尾重疊，棄相交之處，得二數之差。

作一直角三角形，勾一，股乘數；作一相似三角形，勾被乘數，股為積。作一直角三角形，勾一，股除數；作一相似三角形，股被除數，勾為商。

由正數之法，推任意實數之四則，猶自然數入整數也。詳見整數一文。不同者，獨求商法也。

求和者，異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。求差者，同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。求積者，同名正之，異名負之。求商者，同名正之，異名負之。去其名，曰絕對值。

當世數學，空集生自然數，然後整數、分數、實數、複數。然分數何生實數？

實數定義，無有常法。兹聊述之。

戴氏切割

有非空集甲乙，其並為分數集，且甲之物必小於乙之物，則甲乙成一有序對。例：凡分數之立方有異於三者，按其大小，各成一集，得一有序對，曰三開立方。若觀以數線，則正割於所翼處耳。

蓋戴德金（Dedekind）首提此法，因以為名。其合幾何直觀，然難以四則算之耳。

柯西序列

分數之柯西序列者，趨於一點之序列也。此法四則簡明，加減乘除，逐項算之（「{a_n}*{b_n}={a_n*b_n}」，* 可為加減乘除也）。然有二弊。

首項一，餘皆二（「1, 2, 2, 2, 2, ...」)，為實數二；首項三，餘皆二（「3, 2, 2, 2, 2, ...」)，亦實數二也。可知此法，一數多形，誠不便耳，此一弊也。

坊間多以十進數列（「1, 1.4, 1.44, 1.442, 1.4422, ...」)定義三開立方（「1.4422495701...」)。惟此難與三又億分之一開立法分辨也。故尋相應之序列，殊不易耳，此二弊也。

• 域者，可作四則運算也。
• 全序集者，其內之數可分大小也。
• 大於零者曰正，正數之和及積咸正耳。
• 完備者，凡子集有上界，必有最小上界也。

前三者合曰有序域，而僅實數集為完備有序域耳。以其定義實數，亦無不可，然不知實數為何物也。

實數既為分數之柯西序列，故實數域乃分數域之拓撲閉包也。