代數數者,整數多項式之根也。聚以成集,記曰 A } 。複數而非代數數者,曰超越數。整數多項式者,多項式內凡系數皆整數者也。
代數整數者,隅為一之整數多項式之根也。
劉維爾於一八五一年首得超越數,曰劉維爾常數( )。朗伯證圓周率為無理數,猜想圓周率與歐拉數皆超越數也。
一八七三年,埃爾米特得證歐拉數為超越數。翌年,康托爾得證代數數集為可數集,而實數集不可數,故超越數遠多於代數數也。
一九零零年,林德曼得證圓周率為超越數。困繞疇人千年之古希臘改圓為方題,終證無解。
希爾伯特廿三題之七,謂若甲(a)乙(b)皆代數數而乙亦無理數者,則甲之乙乘方(ab)為超越數,於一九三四年得證。
代數數之加減乘除,亦代數數也,故代數數集為一域。
一整數多項式,若無分數解,則作一偽根。并入分數域,得一新數域。遁此法延伸至無限,得一域,曰分數之代數閉包,即代數數域。故代數數者,分數以代數法引伸之極限也。
圓周率與歐拉數之和、差、積、商、乘方,代數數耶?未知也。
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