స్వర్ణ నిష్పత్తి

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi ,}$

గ్రీకు అక్షరం  ఫై (${\displaystyle \varphi }$ లేదా ${\displaystyle \phi }$) స్వర్ణ నిష్పత్తిని తెలియజేస్తుంది. దాని విలువ: 

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots .}$  A001622

 స్వర్ణ నిష్పత్తి అనునది స్వర్ణ సగటు లేదా స్వర్ణ విభాగము (లాటిన్:sectio aurea). గా కూడా పిలువబడుతుంది. యితర పేర్లు అంతములు, మధ్యముల నిష్పత్తి, మీడియల్ విభాగం, డివైన్ అనుపాతం, డివైన్ విభాగం, స్వర్ణ అనుపాతం,, స్వర్ణ సంఖ్యగా పిలువబడుతుంది. 

Binary	1.1001111000110111011...
Decimal	1.6180339887498948482...   A001622
Hexadecimal	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Continued fraction	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$
Algebraic form	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
Infinite series	${\displaystyle {\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}}$

a, b రాశులు స్వర్ణ నిష్పత్తిలో ఉండాలంటే ఈ క్రింది నియమం పాటించాలి. 

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$ 

φ  విలువను కనుగొనడానికి ఒక పద్ధతి ప్రకారం ఎడమ భిన్నంతో మొదలుపెట్టాలి. ఆ భిన్నాన్ని సూక్ష్మీకరించి  b/a = 1/φ ను ప్రతిక్షేపించాలి.

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.}$ 

అందువలన,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}$ 

 φ తో గుణిస్తే

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$ 

వాటిని తిరిగి అమరిస్తే

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$ 

వర్గసమీకరణాన్ని సాధిస్తే రెండు సాధనలు:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\dots }$ 

,

${\displaystyle \varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.6180\,339887\dots }$ 

 φ అనేది ధన లేదా ఋణ రాశులనిష్పత్తి కనుక   φ ధనాత్మకంగా తీసుకోవాలి. 

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{-2}}=1.61803\,39887\dots }$  .