Золотое Сечение

Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}$, является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509 год), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа Φ
Десятичная	1.6180339887498948482…
Двоичная	1.1001111000110111011…
Шестнадцатеричная	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Шестидесятеричная	1; 37 04 55 20 29 39 …
Рациональные приближения	3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; … ${\displaystyle F_{n+1}/F_{n}}$, где ${\displaystyle F_{n}}$ — числа Фибоначчи (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$

Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка ${\displaystyle AB}$ точкой ${\displaystyle C}$ на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: ${\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}.}$ Это понятие было распространено не только на отрезки, но и на произвольные величины.

Число, равное отношению ${\displaystyle a/b,}$ обычно обозначается прописной греческой буквой ${\displaystyle \Phi }$ (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой ${\displaystyle \tau }$ (тау).

Из исходного равенства (например, принимая ${\displaystyle AB}$ за 1, ${\displaystyle AC}$ за неизвестную переменную ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle BC}$ за ${\displaystyle x,}$ и решая получившуюся систему уравнений ${\displaystyle x+y=1;\ x/y=1/x}$) получается квадратное уравнение:

$${\displaystyle 1+{1 \over x}=x\Longleftrightarrow x^{2}-x-1=0,}$$

${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Обратное число, обозначаемое строчной буквой ${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=e^{-0,2i\pi }+e^{0{,}2i\pi }=e^{-0{,}2\ln -1}+e^{0{,}2\ln -1}=(-1)^{-0{,}2}+(-1)^{0{,}2}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{-1}}}+{\sqrt[{5}]{-1}}=2{\mathfrak {R}}({\sqrt[{5}]{-1}})\approx 0{,}61803}$

Легко видеть, что

${\displaystyle \varphi =\Phi -1.}$

Число ${\displaystyle \Phi }$ называется также золотым числом.

Для практических целей обычно ограничиваются приблизительным значением ${\displaystyle \Phi \approx 1{,}618}$ или ${\displaystyle \Phi \approx 1{,}62.}$ В процентах округлённое значение золотое сечение — это деление некоторой величины в отношении 62 % и 38 %.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, ${\displaystyle \Phi }$² = ${\displaystyle \Phi }$ + 1), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (около 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этой пропорции «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа.

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят появление этого термина к XVI веку, самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt). Из текста этого примечания следует, что Ом не придумал этот термин сам, хотя некоторые авторы утверждают обратное. Тем не менее, исходя из того, что в первом издании своей книги Ом уже не употреблял этот термин, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года. В любом случае именно после Ома термин стал распространён в немецкой математической литературе.

• ${\displaystyle \Phi }$  — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$  из которого, в частности, следуют соотношения:
  ${\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi =1,}$ 
  ${\displaystyle \Phi \cdot (\Phi -1)=1.}$ 
• ${\displaystyle \Phi }$  представляется через тригонометрические функции (см. «Тригонометрические константы»):
  • ${\displaystyle \Phi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\cos 36^{\circ }.}$ 
  • ${\displaystyle \Phi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}$ 

• Если угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, относящейся к большей стороне как 1:2, поделить пополам, то по формуле тангенса половинного угла получится соотношение:

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}=\varphi =\operatorname {tg} \left({\frac {\operatorname {arctg} (2)}{2}}\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1+2^{2}}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$ 

• ${\displaystyle \Phi }$  представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
  ${\displaystyle \Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}}}~.}$ 
• ${\displaystyle \Phi }$  представляется в виде бесконечной цепной дроби
  ${\displaystyle \Phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}},}$ 

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ . Таким образом,

• ${\displaystyle \Phi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}.}$ 
• Мера иррациональности ${\displaystyle \Phi }$  равна 2.

 

• Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного с золотой пропорцией, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон ${\displaystyle \Phi =a/b,}$  что и у исходного прямоугольника ${\displaystyle \Phi =(a+b)/a.}$ 
• Продолжая отрезать квадраты против часовой стрелки получим согласно рисунку координаты предельной точки ${\displaystyle (a+b){\frac {1}{1-\varphi ^{4}}},\;a{\frac {1-\varphi ^{4}-\varphi ^{5}}{1-\varphi ^{4}}}.}$  Более того, это точка будет лежать на пересечении диагоналей первого и второго прямоугольников.

 

• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны ${\displaystyle \Phi .}$  Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно ${\displaystyle \Phi .}$ 

 

• Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка ${\displaystyle AB}$  можно построить следующим образом: в точке ${\displaystyle B}$  проводят перпендикуляр к ${\displaystyle AB,}$  откладывают на нём отрезок ${\displaystyle BC,}$  равный половине ${\displaystyle AB,}$  на отрезке ${\displaystyle AC}$  откладывают отрезок ${\displaystyle CD,}$  равный ${\displaystyle BC,}$  и наконец на отрезке ${\displaystyle AB}$  откладывают отрезок ${\displaystyle AE,}$  равный ${\displaystyle AD.}$  Тогда:

${\displaystyle \Phi ={\frac {|AB|}{|AE|}}={\frac {|AE|}{|BE|}}.}$ 

 

• Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE = DE = 1/2, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ${\displaystyle BE=CE={\tfrac {\sqrt {5}}{2}}}$ . Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона AD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как АН = АЕ + ЕН, то отрезок АН длины ${\displaystyle \Phi }$  и будет результатом. Кроме того, поскольку DH = EH – ED, отрезок DH будет иметь длину ${\displaystyle \varphi }$ .

• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
• Значения дробной части чисел ${\displaystyle \Phi ,}$  ${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}}$  и ${\displaystyle \Phi ^{2}}$  в любой системе счисления будут равны.
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=2\ln ^{2}\varphi ,}$ 

где ${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$  — биномиальный коэффициент, тогда как ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}$ ^{[источник не указан 3018 дней]}

 

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведённая на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) ${\displaystyle \Phi \cdot r.}$ 

 

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости (см. рисунок).

Более сложные примеры механических колебаний и их обобщений рассматриваются в этой^{[прояснить]} же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, Физиологии.

Золотое сечение тесно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трёхмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках атомов бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию. Молекула воды, у которой угол между связями Н-О равен 104,7⁰, то есть близок к 108 градусам (равен углу в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так, в разреженной плазме был обнаружен ион Н⁺(Н₂0)₂₁, который представляет собой ион Н₃0⁺, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды.

 

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

• Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона близки к золотому сечению.
• По мнению Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.
• Использование пропорции «золотого сечение» в пропорциях канонов человеческого тела, судя по историческим документам^{[каким?]}, вызывает очень большие сомнения. Начиная с работы Адольфа Цейзинга сформировалась целая система мифов о «золотом сечении».

 

Возможные примеры сознательного использования

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения»^{[источник не указан 116 дней]}. Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах.

Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте).

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того.

 

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов^{[неавторитетный источник]} и др.