Funksioni I Rrumbullakët

Janë raste të veçanta të funksioneve Morse-Bott .

Për shembull, le të jetë ${\displaystyle M}$  një torus . Le të jetë

${\displaystyle K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,}$ 

Atëherë ne dimë se një hartë

${\displaystyle X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}\,}$ 

e dhënë nga

${\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}$ 

është një parametrizim për pothuajse gjithë ${\displaystyle M}$ . Tani, përmes projeksionit ${\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}$  marrim kufizimin

${\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}$ 

${\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }$  është një funksion, grupet kritike të të cilit përcaktohen nga

${\displaystyle {\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0),\,}$ 

kjo është nëse dhe vetëm nëse ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}$  .

Këto dy vlera për ${\displaystyle \theta }$  jepni grupet kritike

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}$ 
${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}$ 

të cilat përfaqësojnë dy rrathë të skajshëm mbi torusin ${\displaystyle M}$  .

Vëreni se Hesiani për këtë funksion është

${\displaystyle {\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$ 

e cila qartë e zbulon veten si ranku i ${\displaystyle {\rm {hess}}(G)}$  i barabartë me një në rrathët e etiketuar, duke e bërë pikën kritike të degjeneruar, domethënë, duke treguar se pikat kritike nuk janë të izoluara.