Funksionet Me Shumë Variabla

dhe simbolikisht shënohet ${\displaystyle z=f(M)}$  ose ${\displaystyle z=f(x,y).}$ 

Grafiku i funksionit

 

Grafiku i funksionit ${\displaystyle z=f(x,y).}$  zakonisht paraqet një sipërfaqe, ndërprerjet e saj me rrafshe paralele ${\displaystyle z=c}$  janë lakore, projeksionet e të cilave në rrafshin xOy kanë ekuacionet ${\displaystyle f(x,y)=c}$  dhe quhen lakore nivelore. Për funksionin me tri variabla quhen sipërfaqe nivelore.

Limiti i funksionit

Rrethinë me rreze δ ose δ-rrethinë të pikës M₀(x₀,y₀) në rrafshin xOy e quajmë bashkësinë e të gjitha pikave ${\displaystyle M(x,y)}$  që gjenden brenda rrethit me rreze δ e me qendër në pikën M₀. Pikën M₀ e quajmë pikë grumbullimi të zonës D në qoftë se në çdo δ-rrethinë të saj ekziston së paku një pikë M₀ e ndryshme nga M e cila i takon zonës D. Pika M₀ mund t'i takojë ose mos t'i takojë zonës D. Numrin A e quajmë limit të funksionit ƒ në pikën e grumbullimit M₀ të domenit D në qoftë se për çdo

${\displaystyle \varepsilon >0}$ 

sado të vogël, mund të gjendet ${\displaystyle \delta >0}$ 

e tillë që për çdo pikë ${\displaystyle M(x,y)}$  nga δ- rrethina e pikës M₀ vlen

${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$ .

simbolikisht shënohet ${\displaystyle z=f(M)}$  ose ${\displaystyle z=f(x,y).}$ , ose

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\forall x\ (0<|x-c|<\delta \ \Rightarrow \ |f(x)-A|<\varepsilon ).}$ 

Pika M mund të tentoj në pikën M₀ në mënyrë të çfarëdoshme , nëpër ndojnë segment, lakore etj.Nëse eksiston limiti i funksionit ƒ në pikën M₀ atëherë ai nuk varet nga rruga nëpër të cilën M → M₀.

Vazhdueshmëria e funksionit

Le të jetë ${\displaystyle z=f(x,y)}$  funksion i përkufizuar në zonën D dhe M₀(x₀,y₀) një pikë grumbullimi e kësaj zone. Funksioni ƒ quhet i vazhdueshëm në pikën M₀ në qoftë se

${\displaystyle \lim _{a\to c}f(a)=f(c)}$ 

ku a = ${\displaystyle M(x,y)}$  dhe c = M₀(x₀,y₀).

Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në një bashkësi D në qoftë se është i vazhdueshëm në çdo pikë të bashkësisë D. Le të jetë ${\displaystyle Z=(x,y)}$  funksion i dy variablave dhe Δx e Δy shtesat e variablave x e y, atëherë diferencën

${\displaystyle \Delta z=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {y} +\Delta \mathbf {y} )-f(\mathbf {x,y} ).}$ 

e quajmë shtesa totale e funksionit ƒ në pikën ${\displaystyle (x,y)}$  , ndërsa diferencat

${\displaystyle \Delta z_{x}=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {y} )-f(\mathbf {x,y} ).}$ 

dhe

${\displaystyle \Delta z_{y}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} +\Delta \mathbf {y} )-f(\mathbf {x,y} ).}$ 

i quajmë shtesa parciale e funksionit ƒ në pikën ${\displaystyle (x,y)}$  në lidhje me argumentet x e y. Funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën M₀ nëse

${\displaystyle \lim _{a\to c}\Delta z=0}$ .

ku c = ${\displaystyle M(x,y)}$  kurse a = ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$ .

Në qoftë se

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\Delta z_{x}=0}$ 

atëherë themi se funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$  në lidhje me variablën x. Ndërsa vazhdueshmëria e funksionit sipas y

${\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}\Delta z_{y}=0}$ .

Nëse funksioni ƒ është i vazhdueshëm në pikën ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$  atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë në lidhje me secilën variabël veç e veç. Anasjelltas nuk vlen. Operacionet e funksioneve të vazhdueshme janë funksione të vazhdueshme.

 

• Zenun Loshaj. Matematika 2. Fakulteti elektroteknik në Prishtinë (1996).

• Ekuacionet e shkallës së përgjithshme
• Ekuacione diferenciale
• Funksionet trigonometrike
• Bashkësitë