Ludolfovo Číslo: Pomer obvodu kruhu k jeho priemeru

O iných významoch pí pozri Pí.

Či je kruh malý, alebo veľký, ${\displaystyle \pi \,\!}$ je stále rovnaké, je to matematická konštanta. Táto konštanta sa bežne používa nielen v matematike ale aj vo fyzike, inžinierstve a iných vedách. Ludolfovo číslo je iracionálne, transcendentné číslo, ktorého prvé tri cifry sú 3,14.

 

Podiel obvodu kruhu k jeho priemeru bol už od staroveku objektom záujmu vedcov. Babylončania okolo roku 2000 pred Kr. zistili, že obvod kruhu je približne trojnásobkom jeho priemeru. Matematický postup výpočtu čísla ${\displaystyle \pi \,\!}$  objavil okolo roku 255 pred Kr. Archimedes zo Syrakúz. Archimedes pomocou výpočtu obvodu pravidelného vpísaného a opísaného 96 uholníka odhadol hodnotu čísla ${\displaystyle \pi \,\!}$  medzi zlomkami ${\displaystyle {\frac {223}{71}}}$  a ${\displaystyle {\frac {220}{70}}}$  (3,1408 <${\displaystyle \pi \,\!}$ <3,1428). V nemecky hovoriacich krajinách bolo toto číslo nazývané Ludolfovo (Ludolphsche Zahl) podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulen, ktorý ho v roku 1596 určil pomocou Archimedovho postupu na 20 miest a neskôr na 35 miest. Výpočtom sa zaoberal aj Samuel Mikovíny, ktorý pred rokom 1750 určil jeho hodnotu na 25 cifier. Návrh na označenie tohto čísla znakom ${\displaystyle \pi \,\!}$  pochádza z roku 1706 od málo známeho waleského matematika Williama Jonesa, ktorý sa v 18. storočí stal viceprezidentom Londýnskej kráľovskej spoločnosti. Označenie ${\displaystyle \pi \,\!}$  sa však ujalo až po tom, čo ho začal používať matematik a fyzik Leonhard Euler (prvýkrát v roku 1736 v diele Mechanika). V súčasnosti aj Nemci nazývajú Ludolfovo číslo ako ${\displaystyle \pi \,\!}$  .

Potom, čo Johann Lambert v roku 1768 dokázal, že ${\displaystyle \pi \,\!}$  nie je zlomok ale iracionálne číslo, vyriešil Ferdinand von Lindemann najvýznamnejší problém spojený s ${\displaystyle \pi \,\!}$ , keď dokázal, že ${\displaystyle \pi \,\!}$  je transcendentné číslo (teda nie je koreňom žiadnej polynomickej rovnice).

Vyčíslenie hodnoty ${\displaystyle \pi \,\!}$ 

William Shanks v roku 1853 oznámil, že vypočítal ${\displaystyle \pi \,\!}$  s presnosťou na 607 miest (napokon sa ukázalo, že správnych bolo len 527). V súčasnosti sa snaha o upresnenie desatinného rozvoja čísla ${\displaystyle \pi \,\!}$  urýchlila vďaka výpočtovej technike. V roku 1949 určili hodnotu ${\displaystyle \pi \,\!}$  s presnosťou na 2 037 desatinných miest, čo pomocou počítača ENIAC trvalo 70 hodín. V roku 2011 bolo známych viac ako 10 000 000 000 000 miest čísla ${\displaystyle \pi \,\!}$ .

Nikdy nebudeme poznať presnú hodnotu čísla ${\displaystyle \pi \,\!}$ , keďže je to iracionálne číslo. Desatinný rozvoj ${\displaystyle \pi \,\!}$  je nekonečný a bez predikovateľnej štruktúry. Jeho hodnota na 60 desatinných miest je:

${\displaystyle 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...}$ 

Jeden zo spôsobov ako ${\displaystyle \pi \,\!}$  vypočítať, s ktorým prišiel nemecký polyhistor Gottfried Wilhelm von Leibniz:

${\displaystyle \pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=+{\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots }$ 

Na približné účely sa často používa zaokrúhlená hodnota na dve desatinné miesta 3,14, čomu zodpovedá aj zlomok 22/7 (3,1428).

Pomerne jednoducho sa zapamätá 113/355 (po 2 krát za sebou nepárne čísla 1 3 5 rozdelené v strede lomkou), čo je ${\displaystyle 1/\pi \,\!}$  s presnosťou na 7 miest odkiaľ opačný pomer 355/113 je ${\displaystyle \pi \,\!}$  s presnosťou na 6 miest.

Číslo ${\displaystyle \pi \,\!}$  s presnosťou na viac, napríklad deväť, desatinných miest je možné vytvoriť spočítaním písmen v jednotlivých slovách napríklad pomocou tejto vety: „Tak, ó milá, ó drahá, zapamätaj si týchto čísel rad.“

 

Kruh

${\displaystyle {\text{Obvod}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {d} =2\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r} }$ 

${\displaystyle {\text{Obsah}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{2}} }$ 

Guľa

${\displaystyle {\text{Povrch}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {d^{2}} =4\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{2}} }$ 

${\displaystyle {\text{Objem}}={\frac {4}{3}}\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{3}} }$ 

Deň pí sa oslavuje od roku 1988 každý rok 14. marca. V tento ako aj v dni „približujúce sa k pí“ si ho možno pripomenúť odriekaním jeho cifier. V roku 2015 spamäti so zaviazanými očami povedal Ind Rajveer Meena jeho prvých 70 000 cifier, čo mu trvalo skoro 10 hodín.

• Crilly, T.: Matematika 50 myšlienok, ktoré by ste mali poznať, Bratislava: Slovart, 2011