අනන්තය: ගණිතමය සංකල්පයක්

4 වැනි හා 3වැනි සියවස) ඉෂා උපනිෂ්දයේ සදහන් වන පරිදි අනන්තයට කොටසක් එක් කළද , ඉන් කොටසක් ඉවත් කළ ද එය තවදුරටත් අනන්තයම වේ.

සූර්ය ප්‍රඥප්ති නම් ඉන්දියානු ගණිතමය ග්‍රන්ථය (ක්‍රි.පූ.400) සියලු සංඛ්‍යා කුලක තුනකට වෙන් කර දක්වනු ලබයි. එම කුලක -ගණ්‍ය කුලකය , අප්‍රමාණ කුලකය හා අනන්ත කුලකය නම් වේ. මෙම එක් එක් කුලකය උප කුලක 3කට බැගින් නැවත වෙන්කර දක්වනු ලැබේ.

• ගණ්‍ය කුලකය-පහත් , මධ්‍යස්ථ හා උච්ච
• අප්‍රමාණ කුලකය-ආසන්න අප්‍රමාණ , සත්‍ය අප්‍රමාණ සහ අප්‍රමාණ ලෙස අප්‍රමාණ
• අනන්ත-ආසන්න අනන්ත , සත්‍ය අනන්ත, අනන්ත ලෙස අනන්ත

මුල්වරට සියලු අනන්ත සමානය යන අදහස බැහැර කරන ලද්දේ ජෛනයන් විසිනි. ඔවුහු විවිධ වර්ගවල අනන්තයන් හඳුනාගන්නා ලදී. අනන්ත දිග (ඒකමාන) , අනන්ත ක්ෂේත්‍රඵලය (ද්විමාන), අනන්ත පරිමාව (ත්‍රිමාණ) සහ අනවරත අනන්ත (අනන්ත මාන) එසේ හඳුනාගත් අනන්තයන් වර්ග වේ.

සින්ග් (1987) ජෝෂප් (2000) සහ අග්‍රාවල් (2000) ට අනුව ජෙනයින්ගේ සංඛ්‍යා ක්‍රම‍යේ ඉහළම ගණ්‍ය සංඛ්‍යා වන N නූතන අභිශූන්‍ය (N0) යන සංකල්පයට අනුරූප වේ. (මෙය අනන්ත නිඛිල කුලකයේ ආදි සංඛ්‍යාව වේ) මෙය කුඩාම අනේක පැර පරිසමිති සංඛ්‍යාව වේ. ඉහළම ගණ්‍ය සංඛ්‍යාව කුඩාම සංඛ්‍යාව වන අනන්ත ආදී සංඛ්‍යා ශ්‍රේණි‍යක් ද ජෛනයන් විසින් ගොඩනගන ලදී.

ජෛන කුලකවාදය ප්‍රධාන අනන්ත සංඛ්‍යා කාණ්ඩ යුලයක් වෙන්කර දක්වයි. මෙම වෙන්කර දැක්වීම සඳහා සාරාර්ථවාදී සහ භෞතිකවාදී යන අදහස් දෙවර්ගයම පදනම් කරගෙන ඇත. ඒ යටතේ “අසම්කෙත” (ගණ්‍ය නොවූ) සම “අනන්ත” (කෙළවරක් නොමැති) යන කාණ්ඩ යුගල පවතී. මෙය නිදහස් හා දෘඩ සපර්යන්ත අනන්තයන් වෙන්කර දැක්වීමකි.

තර්ක ශාස්ත්‍රයට අනුව අනන්ත ප්‍රතිපායන තර්කයක් යනු දෝෂ සහිත ඛණ්ඩාංක ඵලයක් බවත් ඊට මුල් වූ තර්කය නිත්‍ය වශයෙන්ම දර්ශනවාදයට සීමාවූ තර්කයක් බවත් ප්‍රකාශ වේ. ඊට හේතුව එවන් තර්කයක ඵලය අනන්ත ශ්‍රේණියක් වීමයි. එක්කෝ අනන්ත ශ්‍රේණිවලට පැවැත්මක් නොමැත. (A ආකාරය) නැතහොත් එවන් ශ්‍රේණියක් සත්‍ය ලෙසම (B ආකාරය) පවතී නම් නිබන්ධනය එහි ඉලක්කගත අරමුණු සපුරාලන්නේ නැත. (උදා - සාධාරණීකරණය)

 

අනන්ත සලකුණෙහි (∞) නියම මූලයන් අපැහැදිලිය. මෙම සංකේතය ඉංග්‍රීසි භාෂාවෙන් “lemniscate” ලෙස ද හැඳින්වෙන අතර එම වදන “පටිය” යන අරුත ඇති “lemniscus” නම් ලතින් වදනින් බිදී ආවකි. මෙය අනන්තය හඟවන සංකේතයේ ආරම්භය සිදු වූ එක් ආකාරයක් විය හැක.

වඩාත් ප්‍රසිද්ධ අර්ථ දැක්වීමට අනුව “අනන්ත” සංකේතය හැඩය මෝබියස් පටියකට අනුරූප වේ. එවැන්කට ඇත්තේ තනි පෘෂ්ඨයක් බැවින් එහි පෘෂ්ඨය ඔස්සේ ගමන්කර කෙළවර කළ නොහැක. කෙසේ නමුත් මෙම තර්කය පිළිගත නොහැක. ඊට හේතුව 1858 වසරේ දී ඔගස්ටස් ෆර්ඩිනන්ඩ් මෝබියස් සහ‍ ජොඇන් බෙනඩික්ට් ලියවින්ග් ‍මෝබියස් පටිය සොයාගන්නා කාලය වන විට “අනන්ත” සලකුණ වසර 200ක පමණ කාලයක් භාවිතයට ගෙන තිබීමයි.

“අනන්ත” සලකුණෙහි ආරම්භය ආදි රසායනික හෝ ආගමික සලකුණක් මගින් සිදුවූ බව ඇතැම්හු පිළිගනිති. උදාහරණයක් ලෙස “අනන්ත සර්පයා” ලෙස හැඳින්වෙන සත්වයා නිරූපණය කර ඇත්තේ බොහෝ විට “අනන්ත” සංකේතයේ හැඩයට වන අතර ටිබෙටයේ ගල් කැටයම් අතර ද “අනන්ත” සංකේතයට සමාන සංකේත දැකගත හැක.

ජෝන් චැලිස් 1655 දී “De Sectionibus conicis” නම් ග්‍රන්ථය ඔස්සේ “අනන්ත සංකේතය” (∞) හඳුන්වා දුන් බව සාමාන්‍ය පිළිගැනීමයි. ඔහු මෙම සංකේතය තෝරා ගැනීමට හේතුව ලෙස ඇතැමුන් ප්‍රකාශ කරන්නේ රෝම ක්‍රමයට 100 ඉලක්කම CIƆ ආකාරයට ලිවීමයි. මෙය එවෘස්කානු සංඛ්‍යා ක්‍රමයෙන් උපු‍ටාගන්නක් වන අතර බොහෝ යන අරුත ගෙන දීමට ද භාවිතා කෙරේ. තවත් මතයකට අනුව වැලිස් සිය සංකේතය ග්‍රීක හෝඩියේ අවසන් අක්ෂරය වන  (ඔමේගා) මත පදනම්ව නිමකර ඇත. තවත් මතයකට අනුව අතින් මුද්‍රණ කටයුතු එකල 8 ඉලක්කම 90°කින් භ්‍රමණය කර අනන්ත සංකේතය ලෙස යොදා ගැනීම පහසු වීම ඉහත තෝරාගැනීමට හේතුවයි. මෙම සලකුණු ඇතැම්විට “කම්මැලි 8” ලෙස හැඳින්වේ. එමගින් පැත්තට වැටී සිටින 8 ඉලක්කමක් සිහිගැන්වේ.

තවත් ප්‍රසිද්ධ තර්කයක් වන්නේ සලකුණ මගින් 90°කින් හැරවූ වාලුකා යන්ත්‍රයක් දක්වන බවයි. එවිට වාලුකා යන්ත්‍රයේ එක් අර්ධයක් සම්පූර්ණයෙන් වැලිවලින් හිස්වීමට ගතවන කාලය අනන්ත වේ. මෙය අනන්තය නිරූපණයකි. වාලුකා යන්ත්‍රය අනන්ත සංකේතය හඳුන්වාදීමට පෙර සොයාගන්නක් බැවින් මෙම තර්කය නිවැරදි වීමේ හැකියාවක් පවතී.

∞ (U +221E) මගින් ∞ සලකුණ ලේඛනයකට එක් කළ හැක.