En geometrio, platona solido aŭ platona korpo estas konveksa regula pluredro.
Estas precize kvin ĉi tiaj objektoj. Ili estas la tri-dimensiaj analogoj de du-dimensiaj konveksaj regulaj plurlateroj kaj kvar-dimensiaj konveksaj regulaj plurĉeloj.
Konveksa pluredro estas platona solido se kaj nur se
Ĉiu platona solido povas pro tio esti priskribita per simbolo de Schläfli {p,q} kie
Ĉiu platona solido estas samtempe vertico-transitiva, latero-transitiva kaj edro-transitiva.
Nomo | Bildo | Verticoj | Lateroj | Edroj | Simbolo de Schläfli | Vertica konfiguro | Simbolo de Wythoff | Duala pluredro | Ordo de simetrio | Geometria simetria grupo |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kvaredro | 4 | 6 | 4 | {3, 3} | 3.3.3 | 3 | 2 3 | Kvaredro | 24 (12) | Kvaredra simetrio Td (T) | |
Kubo | 8 | 12 | 6 | {4, 3} | 4.4.4 | 3 | 2 4 | Okedro | 48 (24) | Okedra simetrio Oh (O) | |
Okedro | 6 | 12 | 8 | {3, 4} | 3.3.3.3 | 4 | 2 3 | Kubo | |||
Dekduedro | 20 | 30 | 12 | {5, 3} | 5.5.5 | 3 | 2 5 | Dudekedro | 120 (60) | Dudekedra simetrio Ih (I) | |
Dudekedro | 12 | 30 | 20 | {3, 5} | 3.3.3.3.3 | 5 | 2 3 | Dekduedro |
Ĉiu el la pluredroj havas dualan pluredron, ankaŭ kiu estas platona solido, tiel ke oni povas aranĝi la kvin pluredrojn en dualajn parojn.
Se pluredro havas simbolon de Schläfli {p,q}, do ĝia duala havas la simbolon {q,p}.
En matematiko, la koncepto de simetrio estas studata kun la nocio de algebra grupo. Ĉiu pluredro havas asociitan geometrian simetrian grupon, kiu estas la aro de ĉiuj transformoj (eŭklidaj izometrioj) kiuj lasas la pluredron invarianta. La ordo de la geometria simetria grupo estas la kvanto de la diversaj transformoj, inkluzivante identan transformon. Oni ofte diferencigas inter la plena geometria simetria grupo, kiu inkluzivas reflektojn kaj la pozitiva (aŭ turna) geometria simetria grupo, kiu inkluzivas nur turnadojn.
La geometriaj simetriaj grupoj de platonaj solidoj estas pluredraj grupoj, kiuj estas speciala klaso de la punktaj grupoj en tri dimensioj.
Estas nur tri geometriaj simetriaj grupoj asociita kun la platonaj solidoj sed ne kvin, pro tio ke la geometria simetria grupo de ĉiu pluredro koincidas kun tiu de ĝia duala. La tri pluredraj grupoj estas:
La ordoj de la pozitivaj (turnaj) grupoj, estas 12, 24 kaj 60 respektive, la ordoj estas precize duoble pli grandaj ol kvanto de lateroj de la respektivaj pluredroj. La ordoj de la plenaj geometriaj simetriaj grupoj estas duoble pli grandaj, 24, 48 kaj 120 respektive.
Estas klasika rezulto ke estas nur kvin konveksaj regulaj pluredroj. Du komunaj pruvoj estas donitaj pli sube. Ambaŭ el ĉi tiuj pruvoj nur montras ke povas esti ne pli ol 5 platonaj solidoj. Tio ke ĉiuj 5 reale ekzistas estas aparta demando.
Jena geometria pruvo estas tre simila al tiu donita de Eŭklido en la Eroj:
Pure topologia pruvo povas esti farita uzanta nur kombina informo pri la pluredroj. La ŝlosilo estas la ekvacio pri eŭlera karakterizo
Kombinante ĉi tiujn ekvaciojn rezultiĝas ekvacio
Kaj do
Pro tio ke estas severe pozitiva oni devas havi na
Uzanta tion ke p kaj q devas esti ne pli malgranda ol 3, troviĝas nur kvin eblecoj por {p, q}:
Pluredro (a = 2) | r | ρ | R | A | V | Duedra angulo | Angula difekto | Solida angulo | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kvaredro | 70.53° | ||||||||||
Kubo | 90° | ||||||||||
Okedro | 109.47° | ||||||||||
Dekduedro | 116.57° | ||||||||||
Dudekedro | 138.19° |
Kie φ kaj ξ estas donitaj kiel:
Ĉiu platona solido havas tri samcentraj sferoj:
La radiusoj de ĉi tiuj sferoj estas radiuso de ĉirkaŭskribita sfero R , radiuso de mezosfero ρ, radiuso de enskribita sfero r.
Se longo de la lateroj estas a do
Oni povas konstrui la dualan pluredron per lokigo de verticoj de la duala pluredro en centroj de edroj de la originala pluredro. La lateroj de la duala estas formataj per konektado de centroj de najbaraj edroj en la originala pluredro. Tiamaniere, kvantoj de edroj kaj verticoj estas interŝanĝitaj, kaj kvanto de lateroj restas la sama.
Pli ĝenerale, oni povas dualigi platonajn solidojn kun respekto al sfero de radiuso d samcentra kun la pluredro. La radiusoj (R, ρ, r) de solido kaj tiuj de ĝia duala (R*, ρ*, r*) estas interrilatantaj kiel
Ofte estas oportune dualigi kun respekto al la mezosfero (d = ρ) pro tio ke ĝi havas la saman interrilaton al ambaŭ pluredroj. En ĉi tiu okazo pro tio ke d2 = Rr la interdualaj pluredroj havas la samajn radiuson de ĉirkaŭskribita sfero kaj radiuson de enskribita sfero, kio estas R* = R kaj r* = r.
La surfaca areo A de platona solido {p, q} estas areo de regula p-latero, multiplikita je la kvanto de edroj E:
La volumeno estas komputita kiel volumeno de la piramido kies bazo estas regula p-latero kaj kies alto estas la radiuso de enskribita sfero r, multiplikita je la kvanto de edroj E:
Inter la platonaj solidoj, ĉu la dekduedro aŭ la dudekedro aspektas kiel la plej bonaj proksimumiĝoj al la sfero. La dudekedro havas la plej granda kvanton de edroj, la plej grandan duedran angulon, kaj ĝi estas la plej proksima el ĉiuj al sia enskribita sfero. La dekduedro, aliflanke, havas la plej malgrandan angulan difekton, la plej grandan vertican solidan angulon, kaj estas la plej proksima el ĉiuj al sia ĉirkaŭskribita.
La duedra angulo estas la ena angulo inter ĉiuj du najbaraj edroj. La duedra angulo θ de la pluredro {p,q} estas
Tangento de ĝia duono estas
La h estas 4, 6, 6, 10, kaj 10 por la kvaredro, kubo, okedro, dekduedro, kaj dudekedro respektive.
La angula difekto je la vertico de pluredro estas la diferenco inter sumo de la edraj anguloj je vertico kaj 2π. La difekto, δ, je ĉiu, vertico de la platona solido {p,q} estas
Per la kartezia teoremo, angula difekto estas egala al 4π dividita per la kvanto de verticoj.
La 3-dimensia analoga de ebena angulo estas solida angulo. La solida angulo, Ω, je la vertico de platona solido estas
Ĉi tiu sekvas de la sfera krompaga formulo por sfera plurlatero kaj tio ke la vertica figuro de la pluredro {p,q} estas regula q-latero.
Ekzistas 4 regulaj nekonveksaj pluredroj - pluredroj de Keplero-Poinsot. Ili havas dudekedran simetrion kaj povas esti ricevitaj kiel steligoj de la dekduedro kaj la dudekedro.
Ekzistas ankaŭ la aliaj neprismaj unuformaj pluredroj, kiuj havas la samajn simetriojn kiel la platonaj solidoj.
La solidoj de Johnson estas konveksaj pluredroj kiuj havas regulajn edrojn sed ne estas unuformaj.
La tri regulaj kahelaroj de la ebeno estas proksime rilatantaj al la platonaj solidoj. Oni povas konsideri platonajn solidojn kiel regulaj kahelaroj de la sfero. Ĉi tio estas farita per projekciado de solido al samcentra sfero. La edroj projekciiĝas al regulaj sferaj plurlateroj kiu akurate kovras la sferon.
Platonaj solidoj {p,q} verigas kondiĉon 1/p + 1/q > 1/2. Regula kahelaroj de la eŭklida ebeno estas karakterizitaj per la kondiĉo 1/p + 1/q = 1/2. Estas tri eblecoj:
En simila maniero unu povas konsideri la regulajn kahelarojn de la hiperbola ebeno. Ĉi tiuj estas karakterizita la kondiĉo 1/p + 1/q < 1/2. Estas malfinia kvanto de ĉi tiaj kahelaroj.
En pli altaj dimensioj ekzistas konveksaj regulaj hiperpluredroj (vidu en listo de regulaj hiperpluredroj).
En 4 dimensioj ekzistas 6 konveksaj regulaj plurĉeloj kaj 10 nekonveksaj regulaj plurĉeloj.
En 5 aŭ pli multaj dimensioj ekzistas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj - simplaĵo, hiperkubo, kruco-hiperpluredro kaj ne ekzistas nekonveksaj regulaj hiperpluredroj.
This article uses material from the Wikipedia Esperanto article Platona solido, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). La enhavo estas disponebla laŭ CC BY-SA 4.0, se ne estas alia indiko. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Esperanto (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.