Γ函數

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

${\displaystyle \Gamma (z)}$ 呢個符號係勒壤得揀嘅，個函數嘅定義係：

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t\quad (t>0)}$ 

呢個積分喺實數 ${\displaystyle z>0}$  時係絕對收斂，亦可以考慮 ${\displaystyle z}$  係複數嘅情形，呢個時候要求 ${\displaystyle z}$  嘅實部 ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$ 。

Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示：

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to {+\infty }}{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}}$ 
${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}$ 

其中 ${\displaystyle \gamma }$  就係歐拉常數。

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}\lambda ^{\alpha }e^{\left(-\lambda x\right)}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}dx}$ 

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}dx}$ 

Γ 函數嘅遞歸公式係：

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ 

對於正整數 n，有

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ 

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

推導遞歸公式

${\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx}$ 

用分部積分法嚟計呢個積分：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}$ 

當 x = 0 時，${\displaystyle {\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0}$ 。當 x 趨於無窮大時，根據洛必達法則，有：

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{e^{x}}}=0}$ .

因此第一項${\displaystyle \left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }}$ 變咗零，所以：

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}$ 

等式嘅右面啱啱就係n${\displaystyle \Gamma (n)}$ 。所以遞歸公式係：

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}$ 。

 

• 當${\displaystyle z\to 0^{+}}$ 時，${\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty }$ 
• 歐拉反射公式：

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}$ 
由上面條式可以知道當 z = 1/2 時，${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ 。

• 乘法定理：

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$ 
${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).}$ 

• 補充：

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}}$ 
呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。

• 其他用乘法定理計到嘅數：

${\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}*2^{2/3}*\sin({\pi /3})}$ 
${\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}*{\sqrt {\pi }}^{3}*2^{4/3}/{\sqrt {3}}}$ 
${\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}*2^{4/5}*\sin({2*\pi /5})}$ 
${\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3*\pi /10})}$ 
${\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)*{\sqrt {\pi }}*2^{3/5}}$ 
${\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5))*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)*\sin({2*\pi /5}))}$ 

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}$ 

斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度：

${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}}$ 

 

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 ${\displaystyle z}$  嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在，而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)}$ 

並注意到函數 ${\displaystyle \sin(\pi z)}$  係成個複平面上有解析延拓，我地可以喺 ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1}$  時設

${\displaystyle \Gamma (z):={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}}$ 

從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數，佢喺 ${\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots }$  有單極點，留數係

${\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}}$ 

• 雙伽瑪函數
• 多伽瑪函數
• 階乘
• 機率密度函數

• GAMMA 函數嘅性質