Giai Thừa: Toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên
Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên.
Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", ký hiệu là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên.
Ví dụ:
Đặc biệt, với , người ta quy ước , đúng theo quy ước của một tích rỗng. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808. Giai thừa được phổ biến trong nhiều mảng khác nhau của toán học, chủ yếu là mảng tổ hợp, vì đây là số cách khác nhau để xáo trộn một nhóm đối tượng nào đó.
Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:
Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là
1, -1, 1/3, -1/15...
Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.
Một vài đẳng thức với giai thừa kép:
Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.
Giai thừa bội
Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)....
Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau
Siêu giai thừa(superfactorial)
Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là
Tổng quát
Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là
1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 trong bảng OEIS)
Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):
và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là
This article uses material from the Wikipedia Tiếng Việt article Giai thừa, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Nội dung được phát hành theo CC BY-SA 4.0, ngoại trừ khi có ghi chú khác. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Tiếng Việt (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.