Παραγοντικό

${\displaystyle \nu !=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot \nu }$.

Για παράδειγμα,

${\displaystyle 2!=1\cdot 2=2}$,
${\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6}$,
${\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24}$,
${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$,
${\displaystyle 8!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8=40.320}$.

Το παραγοντικό ενός αριθμού ${\displaystyle \nu }$ ισούται με το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ${\displaystyle \nu }$ στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ${\displaystyle \nu }$ στοιχεία ενός συνόλου. Για παράδειγμα, για το σύνολο ${\displaystyle \Sigma =\{\alpha ,\beta ,\gamma \}}$, υπάρχουν συνολικά ${\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6}$ δυνατές μεταθέσεις, οι οποίες είναι οι εξής: ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$, ${\displaystyle \alpha \gamma \beta }$, ${\displaystyle \beta \alpha \gamma }$, ${\displaystyle \beta \gamma \alpha }$, ${\displaystyle \gamma \alpha \beta }$, ${\displaystyle \gamma \beta \alpha }$.

Το ${\displaystyle \nu !}$  ορίζεται αναδρομικά ως εξής για τον φυσικό αριθμό ${\displaystyle \nu }$ :

${\displaystyle \nu !={\begin{cases}1&{\text{για }}\nu =0,\\\nu \cdot (\nu -1)!&{\text{για }}\nu \geq 1,\end{cases}}}$ 

ή μη-αναδρομικά, κάνοντας χρήση του συμβόλου ${\displaystyle \prod }$  για τον πολλαπλασιασμό, ως εξής:

${\displaystyle \nu !={\begin{cases}1&{\text{για }}\nu =0,\\\prod _{i=1}^{\nu }i&{\text{για }}\nu \geq 1.\end{cases}}}$ 

Παρατηρήστε ότι και στους δύο παραπάνω ορισμούς η σύμβαση είναι ότι ${\displaystyle 0!=1}$ . Αυτό βοηθάει σε διάφορους ορισμούς που προκύπτουν από αυτόν του παραγοντικού, όπως είναι οι διωνυμικοί συντελεστές ${\displaystyle {\tbinom {\nu }{\kappa }}}$ , οι οποίοι για ${\displaystyle 0\leq \kappa \leq \nu }$  δίνονται από τον τύπο

${\displaystyle {\binom {\nu }{\kappa }}={\frac {\nu !}{(\nu -\kappa )!\kappa !}}.}$ 

Ο ορισμός του ${\displaystyle 0!=1}$ , επιτρέπει στον ορισμό να δουλεύει για ${\displaystyle \kappa =0}$ , καθώς και για ${\displaystyle \nu =\kappa }$  χωρίς αλλαγές.

Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων ενός συνόλου με ${\displaystyle \nu }$  στοιχεία είναι ${\displaystyle \nu !}$ . Αυτό προκύπτει επαγωγικά. Για ${\displaystyle \nu =1}$ , υπάρχει μία δυνατή μετάθεση για αυτό το στοιχείο.

Για ${\displaystyle \nu \geq 2}$ , υπάρχουν ${\displaystyle \nu }$  τρόποι να διαλέξουμε το πρώτο στοιχείο της μετάθεσης (διαλέγοντας οποιοδήποτε από τα ${\displaystyle \nu }$  στοιχεία) και έπειτα υπάρχουν ${\displaystyle \nu -1}$  στοιχεία για τις υπόλοιπες θέσεις. Από την επαγωγική υπόθεση υπάρχουν ${\displaystyle (\nu -1)!}$  τρόποι να διατάξουμε αυτά τα στοιχεία και επομένως συνολικά ${\displaystyle \nu \cdot (\nu -1)!=\nu !}$  τρόποι να διατάξουμε τα ${\displaystyle \nu }$  στοιχεία.

Αναδρομική κατασκευή μεταθέσεων

 

Αναδρομική κατασκευή μεταθέσεων με τρία στοιχεία, χρησιμοποιώντας τις μεταθέσεις δύο στοιχείων.

 

Γενική αναδρομική κατασκευή μεταθέσεων με ${\displaystyle \nu }$  στοιχεία, έχοντας τις μεταθέσεις για τα ${\displaystyle \nu -1}$  στοιχεία.

Σε αρκετές εφαρμογές είναι πιο βολικό να δουλεύουμε με προσεγγίσεις του ${\displaystyle \nu !}$ , αντί με τον κλειστό τύπο.

Τύπος Στίρλινγκ

 

Ο τύπος του Στίρλινγκ δίνει ότι

${\displaystyle \nu !\sim {\sqrt {2\pi }}\cdot \nu ^{\nu +1/2}\cdot e^{-\nu },}$ 

ή ισοδύναμα

${\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }{\frac {\nu !}{{\sqrt {2\pi }}\cdot \nu ^{\nu +1/2}\cdot e^{-\nu }}}=1.}$ 

Φράγματα

Σε κάποιες εφαρμογές (ειδικά στον χώρο της θεωρητικής πληροφορικής), τα παρακάτω φράγματα δίνουν αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα:

${\displaystyle \left({\frac {\nu }{e}}\right)^{\nu }\leq \nu !\leq e\cdot {\sqrt {\nu }}\cdot \left({\frac {\nu }{e}}\right)^{\nu }.}$ 

Κυκλικές μεταθέσεις

Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε το πλήθος των δυνατών κυκλικών μεταθέσεων. Για παράδειγμα, μπορεί να θέλουμε να τοποθετήσουμε ${\displaystyle \nu =4}$  άτομα σε ένα κυκλικό τραπέζι με ${\displaystyle \nu }$  θέσεις, τότε υπάρχουν οι εξής ${\displaystyle 6}$  δυνατές μεταθέσεις. Παρατηρήστε ότι οι διατάξεις ${\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta }$ , ${\displaystyle \delta \alpha \beta \gamma }$ , ${\displaystyle \gamma \delta \alpha \beta }$  και ${\displaystyle \beta \gamma \delta \alpha }$  είναι ισοδύναμες.

Κυκλικές μεταθέσεις για ένα σύνολο τεσσάρων στοιχείων

 

Οι έξι δυνατές κυκλικές μεταθέσεις για τα στοιχεία ${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}}$ .

 

Οι ισοδύναμες κυκλικές μεταθέσεις για τα τέσσερα στοιχεία.

Στην γενική περίπτωση κάθε διάταξη είναι ισοδύναμη με τις ${\displaystyle \nu }$  κυκλικές διατάξεις της. Επομένως, από τις ${\displaystyle \nu !}$  δυνατές μεταθέσεις, ακριβώς οι ${\displaystyle \nu !/\nu =(\nu -1)!}$  αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεταθέσεις σε έναν κύκλο.

Διατάξεις

Ορισμός μαθηματικής σταθεράς ${\displaystyle e}$ 

Το παραγοντικό εμφανίζεται και στον εξής ορισμό της μαθηματικής σταθεράς e,

${\displaystyle e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}.}$ 

Δυναμοσειρές τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Η συνάρτηση του ημιτόνου μπορεί να οριστεί ως εξής:

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}\cdot x^{2i+1}.}$ 

Επίσης, η συνάρτηση του συνημιτόνου μπορεί να οριστεί ως εξής:

${\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}\cdot x^{2i}.}$ 

Σειρά Τέιλορ

Η σειρά Τέιλορ μίας πραγματικής συνάρτησης ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  στο σημείο ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  είναι η δυναμοσειρά

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}\cdot (x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}\cdot (x-a)^{2}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}\cdot (x-a)^{i}.}$ 

Παρακάτω δίνονται οι δύο κλασσικές υλοποιήσεις για τον υπολογισμό του παραγοντικού: η αναδρομική και η γραμμική υλοποίηση. Σε γλώσσες προγραμματισμού με ακεραίους πεπερασμένου μεγέθους ο παρακάτω κώδικας θα οδηγήσει σε υπερχείλιση όταν το ${\displaystyle \nu }$  είναι μεγάλο. Και οι δύο αλγόριθμοι χρησιμοποιούν ${\displaystyle \nu -1}$  πολλαπλασιασμούς.

Αναδρομικός υπολογισμός

int factorial(int n) {    if (n == 1) return 1;    return n * factorial(n - 1); } 

Γραμμικός υπολογισμός

int factorial(int n) {    int ans = 1;    for (int i = 1; i <= n; ++i) {       ans *= i;    }    return ans; } 

Το αντιπαραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ${\displaystyle \nu }$  συμβολίζεται με ${\displaystyle !\nu }$ , διαβάζεται νι αντιπαραγοντικό, και είναι το πηλίκο όλων των θετικών ακέραιων μικρότερων ή ίσων με ${\displaystyle \nu }$ , δηλαδή

${\displaystyle !\nu ={\frac {1}{\nu !}}={\frac {1}{\nu }}\cdot !(\nu -1)={\frac {1}{\nu }}\cdot {\frac {1}{\nu -1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1}},}$ 

και συμβατικά ${\displaystyle !0=1}$ .

Το αντιπαραγοντικό ${\displaystyle !\nu }$  μας δίνει η πιθανότητα εντοπισμού μίας συγκεκριμένης μετάθεσης από το σύνολο των ${\displaystyle \nu !}$  μεταθέσεων. Για παράδειγμα, το σύνολο ${\displaystyle 2!=2}$ , μας δίνει τις μεταθέσεις: ${\displaystyle 1,2}$  και ${\displaystyle 2,1}$ . Η πιθανότητα εύρεσης της επιθυμητής μετάθεσης (${\displaystyle 1,2}$  ή ${\displaystyle 2,1}$ ), δίνεται από το αντιπαραγοντικό του ${\displaystyle 2}$  δηλαδή ${\displaystyle !2=1/2!=1/2=0.5}$ , συνεπώς ${\displaystyle 50\%}$ .

Ομοίως, για το ${\displaystyle 3!=6}$ , το αντιπαραγοντικό του ${\displaystyle !3}$  είναι ίσο με ${\displaystyle 1/3!=1/6}$ , δηλαδή περίπου ${\displaystyle 16,6\%}$ .

• Συνάρτηση γάμμα

• (Αγγλικά) Weisstein, Eric W., «Factorial», από MathWorld. Ανακτήθηκε 2020-07-22.

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.