Fakultet I Matematikk

Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.

Døme:

${\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24}$

Formelt kan ein definere n-fakultet som

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} \!}$ 

eller rekursivt ved

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{ viss }}n=0\\n(n-1)!&{\text{ viss }}n>0\\\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} .}$ .

Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet

${\displaystyle 0!=1\ }$ 

Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.}$ 

Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}}$ 

 

Når n aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,

${\displaystyle n!\sim \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}.}$ 

Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,

${\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log n}{2}}+{\frac {\log(2\pi )}{2}}.}$ 

Frå dette kan ein sjå at log n! er av orden n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

 

Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt}$ 

For heile, positive tal og null ${\displaystyle (n=0,1,2,...)}$  gjeld det at

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,}$ 

Notasjonen n! vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

• factorielle.free.fr