Shpërndarja Gaus–Kuzmin

Shpërndarja është emërtuar sipas Carl Friedrich Gauss, i cili e nxori atë rreth vitit 1800, dhe Rodion Kuzmin, i cili dha një kufi në shkallën e konvergjencës në 1929. Ajo jepet nga funksioni i masës së probabilitetit

Gauss–Kuzmin

Probability mass function
Cumulative distribution function
Parametrat	(asnjë)
Mbështetës	${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$
FMGJ	${\displaystyle -\log _{2}\left[1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right]}$
FGSH	${\displaystyle 1-\log _{2}\left({\frac {k+2}{k+1}}\right)}$
Vlera e pritur	${\displaystyle +\infty }$
Mediana	${\displaystyle 2\,}$
Moda	${\displaystyle 1\,}$
Varianca	${\displaystyle +\infty }$
Shtrirja	(e papërcaktuar)
Kurtoza e tepërt	(e papërcaktuar)
Entropia	3.432527514776...

${\displaystyle p(k)=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(1+k)^{2}}}\right)~.}$

Le të jetë

${\displaystyle x={\cfrac {1}{k_{1}+{\cfrac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$ 

zgjerimi i vazhdueshëm thyesor i një numri të rastit ${\displaystyle x}$  të shpërndarë në mënyrë uniforme në ${\displaystyle (0,1)}$ . Pastaj

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.}$ 

Në mënyrë të njëvlershme, le të jetë

${\displaystyle x_{n}={\cfrac {1}{k_{n+1}+{\cfrac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}~;}$ 

pastaj

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$ 

tenton drejt zeros kur ${\displaystyle n}$  priret në pafundësi.

Në vitin 1928, Kuzmin dha kufirin

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})~.}$ 

Në 1929, Paul Lévy e përmirësoi atë në

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\,0.7^{n}~.}$ 

Më vonë, Eduard Wirsing tregoi se, për λ = 0,30366... ( konstanta Gauss–Kuzmin–Wirsing ), kufiri

${\displaystyle \Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}}$ 

ekziston për çdo ${\displaystyle s\in [0,1]}$ , dhe funksioni ${\displaystyle \Psi (s)}$  është analitik dhe plotëson ${\displaystyle \Psi (0)=\Psi (1)=0}$ . Kufijtë e mëtejshëm u vërtetuan nga K.I Babenko .