Navier-Stokes-Likningane

Desse likningane uttrykker at endringar i rørslemengda (akselerasjon) til væskepartiklane berre er produktet av endringane i trykket og dissipasjon av viskøse krefter (ein slags friksjon som virkar i sjølve væska). Desse viskøse kreftene kjem frå molekylære vekselverknadar og seier noko om kor «seig» (viskøs) væska er. Altså er Navier-Stokes-likningane ei dynamisk forklaring på dei forskjellige kreftene som virkar i kvart område av ei væske.

Dei er nokre av dei mest nyttige likningane ein har, fordi dei skildrar fysikken i mange forskjellige fenomen av akademisk og økonomisk interesse. Dei vert nytta for å skildre vêret, havstraumar, vasstraum i røyrleidningar, rørslene til stjerner i ein galakse, og luftstraum rundt ei vengje. Desse likningane, både den fulle utgåva og enklare utgåver, vert derfor brukt i design av luftfartøy og bilar, i studiet av blodkrinslaup, design av kraftstasjonar, analyser av kva effekt forureining har osv. I lag med Maxwellikningane kan dei òg brukast til å modellere og studere magnetohydrodynamikk.

Navier-Stokes-likningane er differensiallikningar, som skildrar rørsla til ei væske. I forhold til algebraiske likningar vert ikkje desse likningane brukt til å gje samanhengar mellom variablane ein er interessert i (t.d. snøggleik og trykk), men prøver heller å fastslå forholdet mellom endringane, eller fluksane, til desse storleikane. I matematiske uttrykk er desse endringane dei deriverte av variablane. Så Navier-Stokes-likningane for det enklaste tilfellet, ei ideell væske med null viskositet, seier at akselerasjonen (endringsraten av farten) er proposjonal med den deriverte av det interne trykket.

Berre dei enklaste problemstillingane kan løysast med vanleg differnsialrekning, og gje ei eksakt løysing. Desse tilfella involverer ofte ikkje-turbulent og stasjonær straum, der viskositeten er stor og farten er liten (lite reynoldstal).

For meir kompliserte tilfelle, som globale vêrsystem som El Niño eller løft på ei vengje, krevs det datamaskinar for å løyse Navier-Stokes-likningane. Fleire dataprogram er utvikla for å kunne løyse slike problemstillingar ved hjelp av diverse numeriske metodar.

Sjølv om turbulens er eit daglegdags fenomen er det ekstremt vanskeleg å finne løysingar på slike problemstillingar. Clay Mathematics Institute i Massachusetts i USA tilbaud i 2000 $1 000 000 til dei som gjorde stor framgang i den matematiske teorien som krevs for å forstå fenomenet.

Navier-Stokes-likningane går ut frå at væska er eit kontinuum, altså at den ikkje er bygd opp av diskrete partiklar. Ei anna føresetnad er alle interessefelt som trykk, snøggleik, tettleik, temperatur, osv kan deriverast (til dømes ingen faseovergangar).

Likningane er utleidd av det grunnleggjande prinsippet om bevaring av masse, rørslemengd og energi. Av og til må ein sjå på eit endeleg og vilkårleg volum, kalla eit kontrollvolum, der desse prinsippa gjeld. Dette endelege volumet vert uttrykt som ${\displaystyle \Omega }$  og grenseflatene med ${\displaystyle \partial \Omega }$ . Kontrollvolumet kan både vere stasjonært eller følgje væskestraumen.

Endringar av eigenskapar i ei væske i rørsle kan målast på to forskjellige måtar. Ein kan måle ein spesifikk storleik ved enten å gjere målinga i eit fast punkt i rommet, medan væska strøymer forbi, eller ein kan følgje eit væskevolum langs straumlinja til pakken. Den deriverte til eit felt med omsyn på ein stasjonær posisjon i rommet vert kalla den romlege deriverte, medan deriverte som følgjer eit væskevolum vert kalla lagrangsk deriverte.

Den lagrangsk deriverte er definert som operatoren:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}(\star )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial (\star )}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla (\star )}$ 

der ${\displaystyle \mathbf {v} }$  er farten til væska. Første leddet på høgre side av likninga er den vanlege eulersk deriverte (t.d. den deriverte i eit fast referansesystem), medan det andre leddet representerer endringane som kjem av at væska flyttar seg. Denne effekten vert òg kalla adveksjon.

Målingar av endringar i vindstyrken i atomsfæren kan gjerast med hjelp av eit anemometer på ein vêrstasjon, eller ved å feste det på ein vêrballong. I det første tilfellet måler ein vindstyrken frå eit fast punkt, medan ein i det andre tilfellet måler endringa av styrken medan instrumentet flyttar seg med lufta.

Navier-Stokes-likningane er utleidd frå bevaringsprinsippet av:

• Masse
• Energi
• Rørslemengd
• Vinkelmoment

I tillegg må ein ha med eit fastsetjande forhold mellom desse storleikane eller tilstandslikninga for væska.

På den mest generelle forma seier bevaringslova at endringa av ein ekstensiv storleik ${\displaystyle L}$  definert i eit kontrollvolum, må vere lik mengda som forsvinn gjennom grensene til volumet pluss det som vert danna/brukt opp inne i kontrollvolumet. Dette er uttrykt i den følgjande likninga:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }L\;d\Omega =-\int _{\partial \Omega }L\mathbf {v\cdot n} d\partial \Omega +\int _{\Omega }Qd\Omega }$ 

der v er farten til væska og ${\displaystyle Q}$  er kjeldene og sluka i væska.

Viss kontrollvolumet er stasjonært kan likninga uttrykkast som:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }Ld\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (L\mathbf {v} )d\Omega +\int _{\Omega }Qd\Omega }$ 

Divergensteoremet vart brukt i utleiinga av den siste likninga for å uttrykke det første leddet på høgresida på innsida av kontrollvolumet. Dermed:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }Ld\Omega =-\int _{\Omega }(\nabla \cdot (L\mathbf {v} )-Q)d\Omega }$ 

Uttrykket over gjeld for ${\displaystyle \Omega }$ , som er eit stasjonært kontrollvolum. Sidan ${\displaystyle \Omega }$  ikkje varierer med tida, er det mogeleg å bytte ut ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$  og ${\displaystyle \int _{\Omega }^{}d\Omega }$  operatorane. Og sidan uttrykket gjeld for alle område, kan ein i tillegg fjerne integralet.

Ved å bruke den lagrangsk deriverte får ein når ${\displaystyle Q=0}$  (ingen kjelder eller sluk):

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}L+\nabla \cdot \left(L\mathbf {v} \right)={\frac {D}{Dt}}L+L\left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)=0}$ 

Kontinuitetslikninga

Bevaring av masse vert skrive:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)=0}$ 
${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0}$ 
${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ 

der ${\displaystyle \rho }$  er massetettleiken (masse per volum), og v er farten til væska.

Når ein har ei inkompressibel væske endrar ikkje lenger ${\displaystyle \rho }$  seg langs ei straumlinje og likninga vert redusert til:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ 

Bevaring av rørslemengd

Bevaring av rørslemengd vert uttrykt på liknande måte som kontinuitetslikninga, der vektorkomponentar av rørslemengda erstattar tettleiken, og med eit kjeldeledd i tillegg som skildrar kreftene som virkar på væska. Vi byttar ut ${\displaystyle \rho }$  i kontinuitetslikninga med netto rørslemengd per volum i ein spesifikk retning, ${\displaystyle \rho v_{i}}$ , der ${\displaystyle v_{i}}$  er ${\displaystyle i^{te}}$  komponenten av farten, t.d. farten langs x, y, eller z-retninga.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho v_{i}\right)+\nabla \cdot (\rho v_{i}\mathbf {v} )=\rho f_{i}.}$ 

${\displaystyle \rho f_{i}}$  er den ${\displaystyle i^{te}}$  komponenten av krafta som virkar på væska (eigentleg kraft per volum). Vanlege krefter er tyngdekrafta og trykkgradientar. Dette kan òg uttrykkast som:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )=\rho \mathbf {f} }$ 

${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} }$  er ein tensor, og ${\displaystyle \otimes }$  representerer tensorproduktet.

Ved å bruke kontinuitetslikninga kan ein gjere denne likninga enno enklare:

${\displaystyle \rho {\frac {Dv_{i}}{Dt}}=\rho f_{i}}$ 

som ofte vert skriven som

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=\rho \mathbf {f} }$ 

Her kjenner vi igjen den vanlege F=ma.

Den generelle forma av Navier-Stokes-likningane for bevaring av rørslemengd er:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=\nabla \cdot \mathbb {P} +\rho \mathbf {f} }$ 

der ${\displaystyle \rho }$  er væsketettleiken, v er fartsvektoren, og f er kraftvektoren som virkar på væska. Tensoren ${\displaystyle \mathbb {P} }$  representerer overflatekreftene som virkar på ein væskepartikkel. Med mindre væska inneheld roterande fridomsgrader, som kvervling, så er ${\displaystyle \mathbb {P} }$  ein symmetrisk tensor. På generell form har vi:

${\displaystyle \mathbb {P} ={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}}$ 

der ${\displaystyle \sigma }$  er normalt stress, ${\displaystyle \tau }$  er tangentialt stress (skjerstress), og p er statisk trykk, assosiert med ein istrop del av stresstensoren.

Sporet ${\displaystyle \sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}}$  er alltid -3p per definisjon (med mindre ein har bulk viskositet) uansett om væska er i likevekt eller ikkje.

Til slutt har ein:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot \mathbb {T} +\rho \mathbf {f} }$ 

der ${\displaystyle \mathbb {T} }$  er den sporlause delen av ${\displaystyle \mathbb {P} }$ .

Desse likningane er framleis ufullstendige. For å gjere dei fullstendige må ein lage ein hypotese på form av ${\displaystyle \mathbb {P} }$ , altså ein treng ei fastsettjande lov for stresstensoren som vist under.

Ein tenkjer seg at straumen kan differensierast og er kontinuerleg, som gjer at ein kan uttrykke bevaringslovene som partielle differensiallikningar. Når ein har ein inkompressibel straum (konstant tettleik), er storleikane som må løysast fartskomponenten og trykket. Dei tre komponentane i Navier-Stokes-likningane pluss kontinuitetslikninga gjev eit lukka system av differensiallikningar for desse variablane som kan løysast, i prinsippet, for passelege grensevilkår. Når ein har ein kompressibel straum, vert tettleiken ein ny ukjend i systemet, som ein kan finne ved å tilføre tilstandslikninga i systemet. Ei tilstandslikning inneheld vanlegvis temperaturen til væska, slik at likninga for bevaring av energi òg må løysast i lag med den førre likninga. Desse likningane er ikkje-lineære, og analytiske løysingar i lukka form er berre kjend for svært enkle grensevilkår.

Likningane kan omformast til Wilkinson-likningar for dei sekundære variablane kvervling og straumfunksjon. Løysinga er avhengig av eigenskapane til væska (slik som viskositet, spesifikk varme og varmeleiingsevne), og på grensevilkåra i område ein studerer.

Ein kan gjere visse forenklingar på desse likningane.

Newtonsk væske

Sjå òg Newtonsk væske

I newtonske væsker kan ein bruke følgjande føresetnad:

${\displaystyle p_{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)}$ 

der

${\displaystyle \mu }$  er viskositeten til væska.
${\displaystyle \delta _{ij}}$  er Kronecker delta (1 for i=j; 0 for i ${\displaystyle \neq }$  j).

For å sjå korleis ein «utleier» dette, må vi først merke oss at i likevekt, p_ij=-pδ_ij. For ei newtonsk væske er utleiinga av stresstensoren frå denne likevektsverdien lineær i gradientane til farten. Han kan ikkje berre vere avhengig av sjølve farten, på grunn av Galileis kovarians. Med andre ord, p_ij+pδ_ij er lineær i ${\displaystyle \partial _{i}v_{j}}$ . Væskene som vi ser på her er rotasjonsinvariant (t.d. dei er ikkje flytande krystallar). p_ij+pδ_ij kan dekomponerast til ein sporlaus symmetrisk tensor og eit spor. På liknande måte kan ${\displaystyle \partial _{i}v_{j}}$  dekomponerast til ein sporlaus symmetrisk tensor, eit spor og ein antisymmetrisk tensor. Den sporlause symmetriske delen av ${\displaystyle \partial _{i}v_{j}}$  er ${\displaystyle \partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}-{\frac {2}{d}}\delta _{ij}\partial _{k}v_{k}}$  der d er talet på romlege dimensjonar, og spordelen er ${\displaystyle \delta _{ij}\partial _{k}v_{k}}$ . Dermed er den mest generelle rotasjonsinvariante og lineære funksjonen gjeve ved:

${\displaystyle p_{ij}+p\delta _{ij}=\mu \left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}-{\frac {2}{d}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)+\mu _{B}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} }$ 

for koeffisientane μ og μ_B. μ vert kalla skjerviskositet og μ_B vert kalla bulk viskositet. Empiriske observasjonar har vist at bulk viskosisteten kan neglisjerast for dei fleste væskene av interesse, og vert derfor ofte ikkje tatt med. Dette forklarar faktoren på −2/3 som oppstår i denne likninga. Denne faktoren må modifiserast i ein eller to romlege dimensjonar.

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)\right)}$ 

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)=\rho f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial ^{2}v_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)}$ 

der vi har brukt Einstein-notasjon.

Når ein skriv likningane fullt ut ser ein kor komplekse desse likningane verkeleg er (men berre om ein skriv ut kvar enkelt komponent eksplisitt):

Bevaring av rørslemengd:

${\displaystyle \rho \cdot \left({\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}+w{\partial u \over \partial z}\right)=k_{x}-{\partial p \over \partial x}+{\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial u \over \partial x}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot \mathbf {v} )\right)\right]+{\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y}+{\partial v \over \partial x}\right)\right]+{\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x}+{\partial u \over \partial z}\right)\right]}$ 

${\displaystyle \rho \cdot \left({\partial v \over \partial t}+u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}+w{\partial v \over \partial z}\right)=k_{y}-{\partial p \over \partial y}+{\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial v \over \partial y}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot \mathbf {v} )\right)\right]+{\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z}+{\partial w \over \partial y}\right)\right]+{\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y}+{\partial v \over \partial x}\right)\right]}$ 

${\displaystyle \rho \cdot \left({\partial w \over \partial t}+u{\partial w \over \partial x}+v{\partial w \over \partial y}+w{\partial w \over \partial z}\right)=k_{z}-{\partial p \over \partial z}+{\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left(2\cdot {\partial w \over \partial z}-{\frac {2}{3}}\cdot (\nabla \cdot \mathbf {v} )\right)\right]+{\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x}+{\partial u \over \partial z}\right)\right]+{\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z}+{\partial w \over \partial y}\right)\right]}$ 

Kontinuitetslikningar:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\partial (\rho \cdot u) \over \partial x}+{\partial (\rho \cdot v) \over \partial y}+{\partial (\rho \cdot w) \over \partial z}=0}$ 

Sidan tettleik er ein ukjend, må ein ha enno ei likning.

Bevaring av energi:

${\displaystyle \rho \left({\partial e \over \partial t}+u{\partial e \over \partial x}+v{\partial e \over \partial y}+w{\partial e \over \partial z}\right)=\left({\partial \over \partial x}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial x}\right)+{\partial \over \partial y}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial y}\right)+{\partial \over \partial z}\left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial z}\right)\right)-p\cdot \left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)+\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} +\rho \cdot {\dot {q}}_{s}+\mu \cdot \Phi }$ 

der

${\displaystyle \Phi =2\cdot \left[\left({\partial u \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial v \over \partial y}\right)^{2}+\left({\partial w \over \partial z}\right)^{2}\right]+\left({\partial v \over \partial x}+{\partial u \over \partial y}\right)^{2}+\left({\partial w \over \partial y}+{\partial v \over \partial z}\right)^{2}+\left({\partial u \over \partial z}+{\partial w \over \partial x}\right)^{2}-{\frac {2}{3}}\cdot \left({\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}\right)^{2}}$ 

${\displaystyle \Phi }$  vert stundom kalla «visøks dissipasjon». ${\displaystyle \Phi }$  kan ofte neglisjerast med mindre ein handlar med ekstreme straumar som fly som går raskare enn lyden.

Me tenkjer oss ein ideell gass:

${\displaystyle e=c_{p}\cdot T-{\frac {p}{\rho }}}$ 

Systemet over er eit system av seks likninga og seks ukjende (u, v, w, T, e og ${\displaystyle \rho }$ ), og dermed eit lukka system som kan løysast.

Binghamvæsker

Sjå Binghamplastikk

I Binghamvæsker har vi noko litt forskjellig:

${\displaystyle \tau _{ij}=\tau _{0}+\mu {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}},\;{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}>0}$ 

Dette er væsker som kan ha litt skjer før dei startar å strøyme avgarde. Eit døme på slik væske er tannpasta.

Kraftlovvæsker

Sjå Kraftlovvæske

Ei kraftlovvæske er ei idealisert væske der skjerstresset, ${\displaystyle \tau }$ , er gjeve av:

${\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}$ 

Denne forma er nyttig for å tilnærme alle slags generelle væsker.

Inkompressible væsker

Sjå Inkompressibel væske

Navier-Stokes-likningane er

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[2\mu \left(e_{ij}-{\frac {\Delta \delta _{ij}}{3}}\right)\right]}$ 

for bevaring av rørslemengd og

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ 

for bevaring av masse.

der

${\displaystyle \rho }$  er tettleik,
${\displaystyle u_{i}}$  (${\displaystyle i=1,2,3}$ ) dei tre fartskomponentane,
${\displaystyle f_{i}}$  lekamkrefter (som gravitasjon),
${\displaystyle p}$  trykket,
${\displaystyle \mu }$  dynamisk viskositet, til væska i punktet:

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$ ;
${\displaystyle \Delta =e_{ii}}$  er divergens,
${\displaystyle \delta _{ij}}$  er Kronecker delta.

Viss ${\displaystyle \mu }$  er uniform i heile væska, så vert momentumlikninga forenkla til

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=\rho f_{i}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+{\frac {1}{3}}{\frac {\partial \Delta }{\partial x_{i}}}\right)}$ 

Viss ${\displaystyle \mu =0}$ , men væska er kompressibel, så får ein likningar kjend som Eulerlikningane, der ein mest omhandlar kompressibel straum og sjokkbølgjer.

Viss no i tillegg ${\displaystyle \rho }$  vert sett til konstant, får ein det følgjande likningssystemet:

${\displaystyle \rho \left({\partial v_{x} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{x} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{x} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{x} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{x} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial x}+\rho g_{x}}$ 
${\displaystyle \rho \left({\partial v_{y} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{y} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{y} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{y} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{y} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{y} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial y}+\rho g_{y}}$ 
${\displaystyle \rho \left({\partial v_{z} \over \partial t}+v_{x}{\partial v_{z} \over \partial x}+v_{y}{\partial v_{z} \over \partial y}+v_{z}{\partial v_{z} \over \partial z}\right)=\mu \left[{\partial ^{2}v_{z} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}v_{z} \over \partial z^{2}}\right]-{\partial p \over \partial z}+\rho g_{z}}$ 

Kontinuitetslikninga (føreset inkompressibilitet):

${\displaystyle {\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=0}$ 

Sylindriske koordinater

Sjå sylindrisk koordinatsystem

Navier-Stokes-kontinuitetslikninga for sylindriske koordinatar er:

${\displaystyle {\partial u_{r} \over \partial r}+{u_{r} \over \ r}+{1 \over \ r}{\partial u_{\theta } \over \partial \theta }+{\partial u_{z} \over \partial z}=0.}$ 

Navier-Stokes-likningane for sylindriske koordinatar er:

r-retninga:

${\displaystyle \rho \left({\partial u_{r} \over \partial t}+u_{r}{\partial u_{r} \over \partial r}+{u_{\theta } \over r}{\partial u_{r} \over \partial \theta }+u_{z}{\partial u_{r} \over \partial z}-{u_{\theta }^{2} \over r}\right)}$ 

${\displaystyle =-{\partial P \over \partial r}+\mu \left({\partial ^{2}u_{r} \over \partial r^{2}}+{1 \over r}{\partial u_{r} \over \partial r}-{u_{r} \over r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}u_{r} \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}u_{r} \over \partial z^{2}}-{2 \over r^{2}}{\partial u_{\theta } \over \partial \theta }\right)+F_{r}.}$ 

θ-retninga:

${\displaystyle \rho \left({\partial u_{\theta } \over \partial t}+u_{r}{\partial u_{\theta } \over \partial r}+{u_{r}u_{\theta } \over r}+{u_{\theta } \over r}{\partial u_{\theta } \over \partial \theta }+u_{z}{\partial u_{\theta } \over \partial z}\right)}$ 

${\displaystyle =-{1 \over r}{\partial P \over \partial \theta }+\mu \left({\partial ^{2}u_{\theta } \over \partial r^{2}}+{1 \over r}{\partial u_{\theta } \over \partial r}-{u_{\theta } \over r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}u_{\theta } \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}u_{\theta } \over \partial z^{2}}+{2 \over r^{2}}{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right)+F_{\theta }.}$ 

z-retninga:

${\displaystyle \rho \left({\partial u_{z} \over \partial t}+u_{r}{\partial u_{z} \over \partial r}+{u_{\theta } \over r}{\partial u_{z} \over \partial \theta }+u_{z}{\partial u_{z} \over \partial z}\right)}$ 

${\displaystyle =-{\partial P \over \partial z}+\mu \left({\partial ^{2}u_{z} \over \partial r^{2}}+{1 \over r}{\partial u_{z} \over \partial r}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}u_{z} \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}u_{z} \over \partial z^{2}}\right)+F_{z}.}$ 

Merk at Navier-Stokes-likningane berre kan skildra væskestraum tilnærma, og at på svært liten skala eller under ekstreme vilkår vil væsker blande seg slik at resultata vert annleis enn dei ein får frå dei kontinuerlege og homogene væskene ein brukar i Navier-Stokes-likningane. Avhengig av knudsentalet til problemstillinga, kan statistisk mekanikk stundom vere ein betre framgangsmåte. Navier-Stokes-likningane er likevel nyttige for svært mange praktiske problem, så lenge ein er klar over begrensingane.

• Reynolds transportteeorem
• Reynoldstal
• Machtal
• Reynoldsmidla Navier-Stokes-likningar
• Fleirfasestraum
• Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant

• Inge L. Rhyming, Dynamique des fluides, 1991, PPUR
• A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8

• Detaljert skildring av Navier-Stokes-likningane
• Ei god utleiing av Navier-Stokes-likningane Arkivert 2005-08-28 ved Wayback Machine.
• ADFC Navier-Stokes-løysar (GNU-kode)