Отсечка

Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.

• Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ .
• Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
• Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.

Нека А и В се две посебни точки. Отсечката ${\displaystyle {\overline {AB}}}$  е множеството на сите точки   ${\displaystyle C=A(1-t)+Bt}$    каде што   ${\displaystyle t\in [0,1]}$  .

 

Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката   ${\displaystyle {\overline {AB}}}$    е точката   ${\displaystyle C={\frac {A+B}{2}}}$   .

• Во 2-димензионален простор: ${\displaystyle A=(x_{1},y_{1})}$    ${\displaystyle B=(x_{2},y_{2})}$ .

Средната точка е: ${\displaystyle C=\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}$  .  

Пример: Нека ${\displaystyle A=(-1,3)}$  и ${\displaystyle B=(2,1)}$ . Средната точка на отсечката ${\displaystyle {\overline {AB}}}$    e:   ${\displaystyle C=\left({\frac {-1+2}{2}},{\frac {3+1}{2}}\right)=(0,5;2)}$ .

• Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-t)+Bt каде што t=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].

Пропорционалноста важи и потаму. На пример, се заменува t=¹⁄₃ за да се добие точката C на отсечката која е ¹⁄₃ од патот од А до Во:   ${\displaystyle C={\frac {2}{3}}\cdot A+{\frac {1}{3}}\cdot B}$   .

 

Должината на ${\displaystyle {\overline {AB}}}$  e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со ${\displaystyle |{\overline {AB}}|\,=\,\delta _{A,B}}$ .

Во 2-димензионален простор:

• Должина на отсечка паралелна со х-оската, односно со крајни точки A=(x₁,y) и B=(x₂,y) со истата у-координата и x₂>x₁ е:   ${\displaystyle \delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|=x_{2}-x_{1}}$ .
• Должина на отсечка паралелна со y-оската, односно со крајни точки A=(x,y₁) и B=(x,y₂) со истата x-координата и y₂>y₁ е:   ${\displaystyle \delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|=y_{2}-y_{1}}$ .
• Точки:   ${\displaystyle A=(x_{1},y_{1})}$    ${\displaystyle B=(x_{2},y_{2})}$ .   Должината на   ${\displaystyle {\overline {AB}}}$  е:  

${\displaystyle \delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$    

Пример: Нека ${\displaystyle A=(-1,3)}$  и ${\displaystyle B=(2,1)}$ . Должината на отсечката ${\displaystyle {\overline {AB}}}$    e:   ${\displaystyle \delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|={\sqrt {(2-(-1))^{2}+(1-3)^{2}}}={\sqrt {13}}\approx 3,6}$ .

Во 3-димензионален простор:

• Точки:   ${\displaystyle A=(x_{1},y_{1},z_{1})}$    ${\displaystyle B=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ .   Должината на   ${\displaystyle {\overline {AB}}}$  е:  

${\displaystyle \delta _{A,B}=|{\overline {AB}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$  

Доказ: Се користи Питагорова теорема.

• Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што x₂>x₁ и y₂>y₁. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |x₂ - x₁| и |y₂ - y₁|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|x|)²=x², знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
• Во 3Д: Двапати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка ${\displaystyle B'=(x_{2},y_{2},z_{1})}$  со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина z=z₁. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што ${\displaystyle |{\overline {AB'}}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$ . Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека ${\displaystyle |{\overline {BB'}}|={\sqrt {(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$    за да се доби дадената формула.

Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.

• крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
• крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и

Има 4 можни случаи.

• затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
• отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
• полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
• полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.

Затворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1]

Отворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1)

Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1)

Полуотворена отсечка C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1]

При дефиницијата: C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] следува дека

• Кога t=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
• Кога t=1, C=В e крајната точка на отсечката.

Тоа значи дека самиот интервал t ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.

Параметарски облик на отсечка

Нека се дадени две точки А(x₁,y₁,z₁) и B=(x₂,y₂,z₂).

• Параметарски облик на ориентираната отсечка која почнува во А, а завршува во В е ограничување на параметарскио облик на правата која врви низ А и В за t ∈ [0,1], односно

  ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{x(t)={x_{1}}+{a}t}\\{y(t)={y_{1}}+{b}t}\\{z(t)={z_{1}}+{c}t}\end{array}}\right.}$  каде што ${\displaystyle {a=(x_{2}-x_{1})},\,{b=(y_{2}-y_{1})},\,{c=(z_{2}-z_{1})}}$  ,   ${\displaystyle t\in [0,1]}$   

(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)

Ако V е векторски простор над ${\displaystyle \mathbb {R} }$  или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , и L е подмножество на V, тогаш L е (затворена) отсечка ако L може да се пиши во параметарски облик како:   ${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}$    за некои вектори ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!}$ . Во тој случај векторите u и u + v се викаат крајните точки на L. (Ако t ∈ (0,1), отсечката е отворена.)