Iracionāls Skaitlis

Iracionāli skaitļi ir, piemēram, √2, 3 − √5/2, π, e, ln(2) un 0,12345678910111213…, kur pēdējais skaitlis ir iegūts aiz komata pēc kārtas pierakstot visus naturālos skaitļus decimālajā pierakstā. Ja iracionālu skaitli pieraksta decimālajā skaitīšanas sistēmā, tad iegūst bezgalīgu neperiodisku decimāldaļskaitli.

Visu iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar $\scriptstyle \mathbb {I}$ un tā ir racionālo skaitļu kopas $\scriptstyle \mathbb {Q}$ papildinājums reālo skaitļu kopā $\scriptstyle \mathbb {R}$ :

\mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .

Tā kā $\scriptstyle \mathbb {R}$ ir nesanumurējama kopa, bet $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ir sanumurējama, tad iracionālo skaitļu kopa $\scriptstyle \mathbb {I}$ ir nesanumurējama. Tas nozīmē, ka kopas $\scriptstyle \mathbb {I}$ kardinalitāte ir lielāka par kopas $\scriptstyle \mathbb {Q}$ kardinalitāti (intuitīvi tas nozīmē, ka iracionālo skaitļu ir vairāk nekā racionālo) un kopas $\scriptstyle \mathbb {Q}$ mērs kopā $\scriptstyle \mathbb {R}$ ir nulle (intuitīvi tas nozīmē, ka gandrīz jebkurš reāls skaitlis ir iracionāls).

Iracionalitātes pierādīšana

Pirmie skaitļi, par kuriem tika pierādīts, ka tie ir iracionāli, ir √2 un zelta griezums φ.

Pierādījums tam, ka skaitlis √2 ir iracionāls

Pieņemsim, ka √2 ir racionāls skaitlis jeb eksistē tādi veseli skaitļi m un n ≠ 0, ka √2 = m/n. Papildus varam pieņemt, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra — pretējā gadījumā abus skaitļus var izdalīt ar 2. Ja abas vienādojuma √2 = m/n puses pareizina ar n un ceļ kvadrātā, tad iegūst 2n² = m². No šīs sakarības izriet, ka m ir jābūt pāra skaitlim, teiksim, m = 2p, kur p ir vesels skaitlis. Tātad 2n² = 4p² jeb n² = 2p². Tas nozīmē, ka n arī ir jābūt pāra skaitlim. Tā ir pretruna, jo mēs pieņēmām, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra. □

Īpašības

Ja iracionālam skaitlim pieskaita vai atņem racionālu skaitli, tad joprojām iegūst iracionālu skaitli. Līdzīgi, ja iracionālu skaitli reizina vai dala ar racionālu skaitli (kas nav 0), tad arī iegūst iracionālu skaitli.
Divu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis. Piemēram, √3 + (1 − √3) = 1.
Eksistē divi iracionāli skaitļi, kuru summa un reizinājums ir racionāli skaitļi. Piemēram, 2 + √3 un 2 − √3.

Neatrisinātas problēmas

Par nevienu no šiem skaitļiem joprojām nav zināms, vai tas ir racionāls vai iracionāls:

π + e un π − e (vispārīgā gadījumā: mπ + ne, kur m un n ir veseli skaitļi, kas atšķiras no nulles),
2^e, π^e un π^√2,
Katalāna konstante G = 0,91596559…,
Eilera konstante γ = 0,57721566….

Skatīt arī

Racionāls skaitlis

Atsauces

Hardy, G. H.; Wright, E. M.; Heath-Brown, D. R.; Silverman, Joseph H. (2008), An Introduction to the Theory of Numbers (sixth izd.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, 45. lpp.
Niven, Ivan (2005), Irrational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88-385038-1.

Ārējās saites

Eric W. Weisstein, Irrational Number, MathWorld.

This article uses material from the Wikipedia Latviešu article Iracionāls skaitlis, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Saturs ir pieejams saskaņā ar CC BY-SA 4.0, ja vien nav norādīts citādi. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Latviešu (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.