정의
차원 사영 공간은 다음과 같이 정의할 수 있다. 가 실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고, 개의 수의 순서쌍의 집합 에 다음과 같은 동치관계를 주자.
- ( )
그렇다면 차원 사영 공간 을 몫공간으로 정의할 수 있다.
-
이 경우, 을 의 동차좌표라고 한다.
성질
동차좌표는 유일하지 않다. 즉, 과 은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이
- ( )
을 정의하여 차원 사영 공간을 개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우 인 점들을 나타내지 못한다.
동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에 과 같은 곡면을 정의하려면, 는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.
- 이라면, 모든 에 대하여
- 이라면, 모든 에 대하여
만약 가 다항함수라면, 는 동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어
-
는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면 을 정의할 수 있지만,
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는 동차다항식이 아니므로 곡면 을 정의할 수 없다.
역사
참고 문헌
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