Homogén Koordináták

${\displaystyle (x_{0},x_{1})=(\mu \cdot x_{0},\mu \cdot x_{1})}$

A homogén koordináták igazi jelentőségét az adja, hogy használatukkal az ideális térelemek (pont, egyenes, sík) is megadhatók.

• Projektív koordináták.
• Súlyponti (baricentrikus) koordináták.
• Plücker-féle derékszögű homogén koordináták.

A projektív koordináta-rendszer az általános, a többi ennek speciális esete. (A magyar geometria tankönyvek egy része a nemzetközi terminológiával nem lévén összhangban, a Plücker-féle koordinátákat és csak ezeket nevezik homogénnek! )

A projektív rendszert az egyenesen kívüli pontból induló két bázis-vektorral - ${\displaystyle {\vec {a_{0}}},{\vec {a_{1}}}}$  - adjuk meg. A két bázis egy tetszőleges lineáris kombinációja egy olyan ${\displaystyle {\vec {p}}=x_{0}{\vec {a_{0}}}+x_{1}{\vec {a_{1}}}}$  vektort ad meg, aminek egyenese az adott egyenest egy ${\displaystyle P}$  pontban metszi.

Definíció: Az ${\displaystyle [x_{0};x_{1}]}$  rendezett pár elemei a ${\displaystyle P}$  pont koordinátái.

A definíció következménye: ${\displaystyle [\mu x_{0};\mu x_{1}]=[x_{0};x_{1}]}$  , mert a ${\displaystyle \mu }$  szorzó az ${\displaystyle x_{0}{\vec {a_{0}}}}$  és az ${\displaystyle x_{1}{\vec {a_{1}}}}$  vektor-komponenseket és ezzel a ${\displaystyle {\vec {p}}}$  eredőt arányosan nyújtja meg. A vektor egyenese nem változik, ugyanazt a ${\displaystyle P}$  pontot jelöli ki.

Súlyponti koordinátákat akkor kapunk, ha a bázisvektorok „végpontja” az egyenesre esik.

Az egyenes Plücker-féle koordinátáit az egyenesre merőleges és párhuzamos, egyenlő hosszúságú bázis-pár szolgáltatja.

Egységpont: A bázis-vektorok összege olyan pontot jelöl ki, melynek koordinátái ${\displaystyle E[1;1]=[\mu ;\mu ]}$ 

A koordináta-rendszer az egyenes három (különböző) pontjának kijelölésével egyértelműen megadható:

• ${\displaystyle R=\{A_{0},A_{1},E\}}$  .

Az egyeneshez hasonlóan a sík koordináta-bázisát is egy külső pontból indítjuk. A különbség csupán a dimenzióban van. A síkbeli ${\displaystyle P}$  pontot a bázis lineáris kombinációjával adott ${\displaystyle {\vec {p}}=x_{0}{\vec {a_{0}}}+x_{1}{\vec {a_{1}}}+x_{2}{\vec {a_{2}}}}$  eredő-vektor egyenese döfi ki. A pontkoordináták eszerint:

• ${\displaystyle P[\mu x_{0};\mu x_{1};\mu x_{2}]}$ .

A bázistól függetlenül is (anélkül, hogy a síkból kilépnénk) megadható a koordináta-rendszer a három alappont és az egységpont kitűzésével: ${\displaystyle R=\{A_{0},A_{1},A_{2},E\}}$ . (Kikötés: A négy pont hármasával nem eshet egy egyenesbe!)

A súlyponti és a derékszögű homogén (az ábrán) koordináták ugyanúgy adódnak, mint az egyenesnél.

A térben a koordináta-rendszert a négy alappontjával (tetraéder) és az egységponttal tűzhetjük ki:

• ${\displaystyle R=\{A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},E\}}$ .

A súlyponti rendszer egységpontját az alaptetraéder geometriai súlypontjában kell felvenni. A térbeli Plücker-féle rendszer alappontjai és egységpontja a Descartes-rendszerével esnek egybe.

Az egyenes projektív rácspontjai azok, amelyeknek koordinátáinak hányadosa egész szám. Mivel a hányados (arány) nem kommutatív, kétféle rácspont-sorozatot kapunk. Az egyik az

${\displaystyle ...,[1;-1],[1;0],[1;1],[1;2],[1;3],...}$ 

A másik a reciprok rácsok sorozata

${\displaystyle ...,[-1;1],[0;1],[1;1],[2;1],[3;1],...}$ 

A (piros) projektív skála rácspontjai megfelelnek egy centrálisan vetített (kék) számegyenes rácspontjainak. A sík projektív rácspontjai és a rácsvonalak alkotják a Möbius-féle hálót, mely a perspektivikus térábrázolásban játszik szerepet.

• Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
• Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria - Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
• Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai - ELTE-Mikrológia 43, 2002.