Coordonate Omogene

Coordonatele omogene permit, de asemenea, efectuarea calculelor în spații proiective într-un mod similar cu cel în care coordonatele carteziene o fac în spațiul euclidian.

Coordonatele omogene ale unui punct din spațiul proiectiv de dimensiune n sunt de obicei scrise ca (x: y: z: ...: w), un vector linie de lungime n + 1, altele decât (0: 0: 0: ... : 0). Două seturi de coordonate, care sunt proporționale denotă același punct din spațiul proiectiv: pentru orice non-zero c scalar din domeniu care stă la baza K, (cx : cy : cz : ... : cw) reprezintă același punct. Prin urmare, acest sistem de coordonate poate fi explicat după cum urmează: în cazul în care spațiul proiectiv este construit dintr-un spațiu vectorial V de dimensiune n + 1, se introduc coordonatele în V, prin alegerea unei baze, și utilizarea acestora în P (V), clasele de echivalență proporționale non-zero vectori în V.

Există două feluri de înmulțire scalară: una pentru puncte neproiectate și alta pentru puncte proiectate.

Se consideră un scalar a și un punct 3-D neproiectat (x : y : z). Atunci

${\displaystyle a(x:y:z)=(ax:ay:az).}$ 

Se observă că

${\displaystyle (x:y:z)\equiv a(x:y:z)}$ 

deși

${\displaystyle (x:y:z)\neq a(x:y:z).}$ 

Fie acum un scalar a și un punct 3-D proiectat [x : y : z]. Atunci

${\displaystyle a[x:y:z]=[ax:ay:z]}$ 

astfel încât

${\displaystyle [x:y:z]\neq a[x:y:z].}$ 

Se observă totuși un caz special - dacă ${\displaystyle a=z=0}$ , formula de mai sus dă [0:0:0] ca rezultat, care după cum se știe nu reprezintă niciun punct. Într-adevăr, ${\displaystyle 0\cdot \infty }$  e nedefinită, așa că nu este o imperfecțiune în definiție.

Fie o pereche de puncte A and B pe 3-spațiu proiectiv, a căror omogene coordonate sunt

${\displaystyle \mathbf {A} :[X_{A}:Y_{A}:Z_{A}:W_{A}],}$ 
${\displaystyle \mathbf {B} :[X_{B}:Y_{B}:Z_{B}:W_{B}].}$ 

Este de dorit a se găsi combinația liniară ${\displaystyle a\mathbf {A} +b\mathbf {B} }$  unde a și b sunt coeficienți ajustabili, cu condiția ca ${\displaystyle a,b\neq 0}$ , sau (mai exact) ca ${\displaystyle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \neq 0}$ , pentru a evita punctele degenerate. Există trei cazuri de luat în considerare:

• ambele puncte aparțin 3-spațiilor afine,
• ambele puncte aparțin planului de la infinit,
• un punct este afin și celălalt este la infinit.

Coordonatele omogene sunt omniprezente în grafica digitală deoarece rezolvă problema reprezentării translației și a proiecției ca operații matriciale.

Coordonatele omogene permit tuturor transformărilor afine să fie reprezentate prin operații matriciale. O translație in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}:(x,y)\rightarrow (x+a,y+b)}$  poate fi reprezentată ca

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+a\\y+b\\1\end{pmatrix}},}$ 

unde vectorii coloană sunt coordonatele omogene ale celor două puncte. Toate transformările liniare ca rotație și reflexie față de origine pot fi si ele reprezentate prin matrici de forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$ 

Mai mult toate transformările proiective pot fi reprezentate prin alte matrici. Această reprezentare simplifică calculul în grafica digitală deoarece toate transformările necesare pot fi efectuate prin înmulțirea matricilor. Ca rezultat, o serie de transformări afine pot fi combinate simplu prin înmulțirea succesivă a matricilor. Aceasta se realizează în sisteme grafice în timp real ca OpenGL and DirectX care pot folosi plăci video moderne pentru efectuarea de operații cu coordonate omogene.

• Coordonate carteziene
• Coordonate cilindrice
• Coordonate polare
• Coordonate triliniare

Portal Matematică