Współrzędne Jednorodne

Pojęcie to opiera się na konstrukcji przestrzeni rzutowej, w której ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzeń euklidesową ${\displaystyle E^{n}}$ uzupełnia się o kierunki zwane punktami w nieskończoności lub punktami niewłaściwymi.

Jeśli punkt właściwy ma współrzędne kartezjańskie ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots x_{n}),}$ to jego współrzędne jednorodne mają postać ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots x_{n},1).}$ Np. punkt na płaszczyźnie o współrzędnych kartezjańskich ${\displaystyle (x,y)}$ ma zarazem współrzędne jednorodne postaci ${\displaystyle (x,y,1);}$ podobnie punkt w przestrzeni trójwymiarowej o współrzędnych kartezjańskich ${\displaystyle (x,y,z)}$ ma współrzędne jednorodne ${\displaystyle (x,y,z,1).}$

Odwrotnie – punkt właściwy o współrzędnych jednorodnych ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots x_{n},z)}$ i ${\displaystyle z\neq 0}$ ma współrzędne kartezjańskie postaci ${\displaystyle \left({\frac {x_{1}}{z}},{\frac {x_{2}}{z}},\dots ,{\frac {x_{n}}{z}}\right).}$ Jeśli natomiast ${\displaystyle z=0,}$ to jest to punkt w nieskończoności i nie istnieją dla niego współrzędne kartezjańskie. Żaden punkt nie może mieć współrzędnych jednorodnych ${\displaystyle (0,0,\dots 0,0).}$

Dwa układy ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots x_{n+1})}$ i ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\dots y_{n+1})}$ są współrzędnymi jednorodnymi tego samego punktu, gdy jeden z tych układów jest wielokrotnością drugiego, tj. ${\displaystyle x_{i}=k\cdot y_{i}}$ dla pewnego ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,k\neq 0.}$ Inaczej mówiąc, każdy punkt (właściwy lub niewłaściwy) można reprezentować na nieskończenie wiele sposobów we współrzędnych jednorodnych i wszystkie te reprezentacje są do siebie proporcjonalne.

Współrzędne jednorodne zostały wprowadzone do geometrii w 1827 przez Augusta Möbiusa w pracy Der barycentrische Calcul. W 1946 E. Maxwell użył ich do rozwiązywania problemów związanych z rzutowaniem. Są narzędziem do stosowania metod analitycznych w przestrzeniach rzutowych. Ze względu na kilka zalet znalazły też zastosowanie w grafice komputerowej.

Przekształcenia macierzowe

W roku 1965 L. Roberts zauważył, że współrzędne jednorodne znakomicie nadają się do macierzowego opisu przekształceń w przestrzeniach ${\displaystyle n}$ -wymiarowych.

Podstawowymi przekształceniami stosowanymi w grafice są: skalowanie, obrót, pochylenie i translacja. Zapis macierzowy wszystkich tych przekształceń przedstawia się następująco (przykład dla dwóch wymiarów):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=A\cdot X+T={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}x+a_{12}y+t_{x}\\a_{21}x+a_{22}y+t_{y}\end{bmatrix}},}$ 

gdzie macierz ${\displaystyle A}$  zawiera skumulowane informacje o obrocie, skalowaniu i pochyleniu, natomiast wektor ${\displaystyle T}$  przesunięcie. Stosując współrzędne jednorodne, można za pomocą macierzy 3x3 przedstawić wszystkie przekształcenia:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\W'\end{bmatrix}}=A\cdot X={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&t_{x}\\a_{21}&a_{22}&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\W\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}x+a_{12}y+t_{x}W\\a_{21}x+a_{22}y+t_{y}W\\W\end{bmatrix}}.}$ 

Macierz będąca iloczynem dowolnej liczby macierzy reprezentujących różne przekształcenia zawiera złożenie tych przekształceń. Dzięki temu zamiast osobno wykonywać kolejne przekształcenia ${\displaystyle x'=x\cdot M_{1},x''=x'\cdot M_{2},\dots ,x^{(n)}=x^{(n-1)}\cdot M_{n},}$  można najpierw wykonać mnożenie odpowiednich macierzy ${\displaystyle M=M_{1}\cdot M_{2}\cdot \ldots \cdot M_{n},}$  później zaś używać wynikowej macierzy ${\displaystyle x'=x\cdot M.}$  Czyli zamiast wykonywać ${\displaystyle n}$  mnożeń punktu przez macierze, to samo uzyskuje się jednym mnożeniem punktu przez macierz, dzięki uprzedniemu wykonaniu ${\displaystyle n-1}$  mnożeń macierzy.

Za pomocą macierzy przekształceń we współrzędnych jednorodnych można także zwięźle opisać rzut perspektywiczny:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\W'\end{bmatrix}}=M\cdot X={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&{\frac {1}{d}}&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\\z\\W\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\{\frac {z}{d}}\end{bmatrix}}.}$ 

Przy przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się: ${\displaystyle \left[{\frac {x}{z/d}},{\frac {y}{z/d}},d\right]^{T}.}$ 

Obcinanie

W grafice trójwymiarowej istotnym elementem wizualizacji jest obcinanie sceny trójwymiarowej do tzw. ostrosłupa widzenia. Jest to ostrosłup (dokładnie: ostrosłup ścięty) zdefiniowany przez wirtualną kamerę, w obrębie którego znajdują się obiekty widoczne w danym rzucie. Jednak obcinanie względem ostrosłupa widzenia jest dość skomplikowane obliczeniowo, dlatego można przekształcić ostrosłup widzenia w sześcian. Obcinanie względem sześcianu jest bardzo efektywne, jednak aby po takim przekształceniu zapewnić poprawność wyników, obcinanie musi zostać wykonane we współrzędnych jednorodnych. Jest to powszechnie stosowane podejście w rozwiązaniach sprzętowych.

Także obcinanie wymiernych krzywych B-sklejanych we współrzędnych trójwymiarowych może nie dać prawidłowych wyników, natomiast obcinanie we współrzędnych jednorodnych gwarantuje poprawność wyniku.