Жай Сан

Жай сандардың шексіз көп екендігі (Евклид теоремасы) ежелгі грек математиктеріне де белгілі болған. Жай сан натурал сандарды зерттеу кезінде негізгі ұғым болып есептеледі. Өйткені, кез келген бүтін сан (1-ден басқа) бір ғана түрде жай сандардың көбейтіндісіне жіктелетіндігін (көбейткіштердің тәртібіне назар аударылмайды) бөлінгіш теориясының негізгі теоремасы тұжырымдайды. 1-ден x-қа дейінгі жай сандарды табу үшін Эратосфен елегі (б.з.б. 3 ғасыр) қолданылады. 1-ден x-қа дейінгі жай сандар тізбегін қарастырғанда, орташа есеппен жай сан сирек кездеседі. Натурал сандар қатарының бірде бір жай сан болмайтын өте үлкен аралықтары болады. Дегенмен айырмасы 2-ге тең жай сандар да (егіз сандар деп аталатын) бар (мысалы, 10006427 және 10006429). Мұндай егіз сандар жиыны шекті ме не шексіз бе деген сұраққа әзірше жауап табылған жоқ (1987).

Натурал сандар қатарында жай сандардың таралуы — сандар теориясының ең қиын мәселесі. Бұл мәселе, n оң санынан аспайтын, жай сандардың санын көрсететін π(n) функциясының асимптоталық сипатын зерттеу ретінде қарастырылады. Жай сандардың таралуы теоремасы ${\displaystyle \pi (n)~}$  (яңни 1-ден n-ге дейінгі жай сандар саны) саны n өскен сайын ${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}}$  сияқты өседі дейді, яғни:

${\displaystyle {\frac {\pi (n)}{n/\ln n}}\to 1,}$  егер ${\displaystyle \quad n\to \infty }$ .

Л.Эйлер 1737 жылы төмендегідей дзета-функциясын ендірді:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,}$ 

мұндағы ${\displaystyle \displaystyle s\in \mathbb {C} }$ . Ол s>1 болғанда : ${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$  болатындығын дәлелдеді. Мұнда көбейтінді барлық жай сан бойынша жүргізіледі. Соңғы теңдік және оның жалпыламасы жай сандардың таралу теориясында маңызды рөл атқарады. Жай сандардың таралу мәселесін зерттеуде П.Л. Чебышев, француз математигі Ж.Адамар (1865 — 1963), бельгиялық математик Ш. Ла Валле Пуссен (1866 — 1962) ірі жетістіктерге жетті. Жай сандардың таралу мәселесі элементар әдіспен де, математикалық анализ әдісімен де зерттеледі.

Ең ірі жай сандар

1965 жылға дейінгі ең үлкен жай сан: 211213–1. Бұл санның құрамында 3376 цифр бар.

2011 жыл ақпанына сәйкес ең үлкен жай сан — ${\displaystyle 2^{43112609}-1}$ . Ол 12 978 189 ондық цифрдан тұрады және жай Мерсенн саны болып табылады. Оны 2008 жылғы 23 тамыз күні Калифорния университетінің математикалық факультетінде Мерсенн жай сандар таралуы GIMPS жобасы шеңберінде табылған.

2016 жылы Көртис Купер (Curtis Cooper) жаңа ең ірі жай санды тапты - 2^74,207,281 – 1, бұл оның алдындағы ең ірі жай саннан 5 млн-ға жуық таңбаға ұзынырақ.