Logaritma Alami

${\displaystyle e\approx 2.718281828459045\dots }$.

Logaritma alami terdefinisikan untuk semua bilangan real (riil) positif ${\displaystyle x}$ dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan ${\displaystyle 0}$.^{[butuh rujukan]}

Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari fungsi eksponensial.

${\displaystyle \ e^{\ln(x)}=x\,\!}$ untuk semua ${\displaystyle x}$ yang positif dan
${\displaystyle \ln(e^{x})=x\,\!}$ untuk semua ${\displaystyle x}$ yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan ${\displaystyle \ln(x)}$  atau ${\displaystyle \log(x)}$  untuk menotasikan ${\displaystyle \log _{e}(x)}$ . Begitu juga dengan para insinyur, ahli biologi dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni kalkulator, tombol ln diartikan sebagai logaritma alami.^{[butuh rujukan]}

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$ 

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!}$ 

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan ${\displaystyle \phi (t)=at}$  dan dengan menggunakan rumus substitusi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(ab)&=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\&=\ln(a)+\ln(b)\end{aligned}}}$ 

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu a di mana ${\displaystyle \ln(a)=1}$ .

Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat Sifat Logaritma), di antaranya.

• ${\displaystyle \ln 1=0}$ 
• ${\displaystyle \ln e=1}$ 
• ${\displaystyle \ln ab=\ln a+\ln b}$ 
• ${\displaystyle \ln {\frac {a}{b}}=\ln a-\ln b}$ 

• Logaritma natural dari 2