歷史
十七世纪 雙曲線扇形 是笛卡爾平面 { ( x , y ) } {\displaystyle \{(x,y)\}} 上的一個區域,由從原點到 ( a , 1 a ) {\textstyle (a,{\frac {1}{a}})} 和 ( b , 1 b ) {\textstyle (b,{\frac {1}{b}})} 的射線,以及雙曲線 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 圍成。在標準位置的雙曲線扇形有 a = 1 {\displaystyle a=1} 且 b > 1 {\displaystyle b>1} ,它的面積為 ln ( b ) {\displaystyle \ln(b)} ,此時雙曲線扇形對應正雙曲角 。 當直角雙曲線下的兩段面積相等時, x {\displaystyle x} 的值呈等比數列 , x 2 x 1 = x 1 x 0 = k {\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}=k} , y {\displaystyle y} 的值也呈等比數列, x 2 x 1 = x 1 x 0 = 1 k {\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}={\frac {1}{k}}} 。 約翰·納皮爾 在1614年以及约斯特·比尔吉 在6年後,分別發表了獨立編制的對數表 ,當時通過對接近1的底數的大量乘冪 運算,來找到指定範圍和精度的對數 和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念,按後世的觀點,約翰·納皮爾 的底數0.999999910000000 相當接近 1 e {\textstyle {\frac {1}{e}}} ,而约斯特·比尔吉 的底數1.000110000 相當接近自然對數的底數 e {\displaystyle e} 。實際上不需要做開高次方這種艱難運算,約翰·納皮爾 用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算,亨利·布里格斯 建議納皮爾改用10為底數未果,他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數 表的編制。
形如 f ( x ) = x p {\displaystyle f(x)=x^{p}} 的曲線都有一個代數反導數 ,除了特殊情況 p = − 1 {\displaystyle p=-1} 對應於雙曲線的弓形面積 ,即雙曲線扇形 ;其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式 給出,其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德 完成(拋物線的弓形面積 ),雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年圣文森特的格列高利 將對數聯繫於雙曲線 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 的弓形面積,他發現x軸上 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形 同 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} 對應的扇形,在 a b = c d {\textstyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 時面積相同,這指出了雙曲線從 x = 1 {\displaystyle x=1} 到 x = t {\displaystyle x=t} 的積分 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 滿足:
f ( t u ) = f ( t ) + f ( u ) {\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\,} 1649年,萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥 將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年,伊薩克·牛頓 推廣了二項式定理 ,他將 1 1 + x {\textstyle {\frac {1}{1+x}}} 展開並逐項積分,得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托 在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中,他也獨立發現了同樣的級數,即自然對數的麥卡托級數 。
十八世纪 大約1730年,歐拉 定義互為逆函數的指數函數 和自然對數為:
e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n , {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},} ln ( x ) = lim n → ∞ n ( x 1 n − 1 ) {\displaystyle \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)} 1742年威廉·琼斯 發表了現在的冪 指數 概念。
形式定義
性質
ln ( 1 ) = ∫ 1 1 1 t d t = 0 {\displaystyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,} ln ( − 1 ) = i π {\displaystyle \operatorname {ln} (-1)=i\pi \,} ln ( x ) < ln ( y ) f o r 0 < x < y {\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0 lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,} ln ( x y ) = y ln ( x ) {\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,} x − 1 x ≤ ln ( x ) ≤ x − 1 f o r x > 0 {\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,} ln ( 1 + x α ) ≤ α x f o r x ≥ 0 , α ≥ 1 {\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,} 證明 lim h → 0 ln ( 1 + h ) h = lim h → 0 ln ( 1 + h ) − ln 1 h = d d x ln x | x = 1 = 1 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}_{x=1}=1}
導數
冪級數
積分
自然對數通過分部積分法 積分:
∫ ln ( x ) d x = x ln ( x ) − x + C . {\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.} 假設:
u = ln ( x ) ⇒ d u = d x x {\displaystyle u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}} d v = d x ⇒ v = x {\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x\,} 所以:
∫ ln ( x ) d x = x ln ( x ) − ∫ x x d x = x ln ( x ) − ∫ 1 d x = x ln ( x ) − x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}} 自然對數可以簡化形如 g ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) {\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}} 的函數的積分: g ( x ) {\displaystyle g(x)} 的一個原函數 給出為 ln ( | f ( x ) | ) {\displaystyle \ln(\left\vert f(x)\right\vert )} 。這是基於鏈式法則 和如下事實:
d d x ln | x | = 1 x . {\displaystyle \ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.} 換句話說,
∫ 1 x d x = ln | x | + C {\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C} 且
∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C . {\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.} 例子 下面是 g ( x ) = tan x {\displaystyle g(x)=\tan x} 的例子:
∫ tan x d x = ∫ sin x cos x d x = ∫ − d d x cos x cos x d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}} 設 f ( x ) = cos x {\displaystyle f(x)=\cos x} 且 f ′ ( x ) = − sin x {\displaystyle f'(x)=-\sin x} :
∫ tan x d x = − ln | cos x | + C = ln | sec x | + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}} 與雙曲函數的關係 連分數 儘管自然對數沒有簡單的連分數 ,但有一些廣義連分數如:
ln ( 1 + x ) = x 1 1 − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + x 5 5 − ⋯ = x 1 − 0 x + 1 2 x 2 − 1 x + 2 2 x 3 − 2 x + 3 2 x 4 − 3 x + 4 2 x 5 − 4 x + ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}} ln ( 1 + x y ) = x y + 1 x 2 + 1 x 3 y + 2 x 2 + 2 x 5 y + 3 x 2 + ⋱ = 2 x 2 y + x − ( 1 x ) 2 3 ( 2 y + x ) − ( 2 x ) 2 5 ( 2 y + x ) − ( 3 x ) 2 7 ( 2 y + x ) − ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}} 這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是,更大的數的自然對數,可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算,帶有類似的快速收斂。
例如,因為 2 = 1.25 3 × 1.024 {\displaystyle 2=1.25^{3}\times 1.024} ,2的自然對數 可以計算為:
ln 2 = 3 ln ( 1 + 1 4 ) + ln ( 1 + 3 125 ) = 6 9 − 1 2 27 − 2 2 45 − 3 2 63 − ⋱ + 6 253 − 3 2 759 − 6 2 1265 − 9 2 1771 − ⋱ . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}} 進而,因為 10 = 1.25 10 × 1.024 3 {\displaystyle 10=1.25^{10}\times 1.024^{3}} ,10的自然對數可以計算為:
ln 10 = 10 ln ( 1 + 1 4 ) + 3 ln ( 1 + 3 125 ) = 20 9 − 1 2 27 − 2 2 45 − 3 2 63 − ⋱ + 18 253 − 3 2 759 − 6 2 1265 − 9 2 1771 − ⋱ . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}} 複數對數 科学應用 註釋 参考资料 延伸阅读 John B. Conway, Functions of one complex variable , 2nd edition, Springer, 1978. Serge Lang , Complex analysis , 3rd edition, Springer-Verlag, 1993. Gino Moretti, Functions of a Complex Variable , Prentice-Hall, Inc., 1964. Donald Sarason, Complex function theory (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) , 2nd edition, American Mathematical Society, 2007. E. T. Whittaker and G. N. Watson , A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1927.
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