Matematika Parabola

Konika edo sekzio koniko bat ere bada parabola: zehatzago, erreboluziozko kono batekin konoaren sortzaileekiko paraleloa den plano bat ebakitzean sortzen den kurba da. Kalkuluan, ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)\,}$ funtzio koadratiko guztiak parabolak dira.

Errealitatean gorputzen erorketa-mugimenduen ibilbideetan eta astro edo argizagi zenbaiten orbita gisa agertzen da parabola. Ingeniaritzan ere maiz erabiltzen da, zubien eraikuntzan esaterako.

Parabola bat.

Parabola, urdinez: F fokutik eta zuzentzailetik parabolako puntu batera dauden distantziak berdinak dira.

Parabola konika bat da: plano bat erreboluziozko kono batekin ebakitzean ere sortzen da.

Parabola gorputzen mugimenduan agertzen den ibilbidea izaten da.

 

Parabola batean foku izeneko puntu batetik parabolako puntu jakin baterako distanzia eta puntu horretatik zuzentzaile izeneko zuzen baterako distantzia berdinak dira.

Erpina parabolan kurbadura edo makurtasun handiena duen puntua da eta fokuaren eta zuzentzailearen arteko erdipuntuan dago.

Erpinetik fokura dagoen p distantziari foku-distantzia edo foku-erradio deritzo. Erpinetik zuzentzailera dagoen distantzia ere p da.

Fokutik igaro eta zuzentzailearekiko elkartzuta den zuzena ardatza da. Parabola simetrikoa da bere ardatzari buruz. Ardatza fokutik eta erpinetik pasatzen den zuzena ere bada.

Ardatzarekiko paraleloa den edozein zuzena parabolaren diametro bat da.

Muturrak parabolan dituen eta fokutik igarotzen den zuzenkia foku-korda bat da.

Parabolaren ardatzarekiko elkartzuta den foku-korda latus rectum izeneko zuzenkia da eta foku-korda txikiena da. Latus rectum delakoaren zabalerari foku-zabalera deritzo eta bere balioa 4p da.

Parabola leku geometriko gisa

Konika guztiak, parabola barne, leku geometriko dira. Zehatzago, parabola foku izeneko puntu baterako distantzia eta zuzentzaile izeneko zuzen baterako distantzia laburrena berdinak dituzten puntuen leku geometrikoa da.

Parabola bat definizio hori erabiliz marraztu daiteke:

 

• edozein zuzen (zuzentzailea izango dena) eta F puntu bat (foku izango dena) marraztu behar dira;
• zuzentzaileko edozein puntu aukeratzen da (irudian, T);
• puntua fokuarekin lotzen da zuzenki baten bitartez;
• zuzenkiaren erditzailea marraztu;
• T puntutik altxatzen den zuzentzailearekiko elkartzuta marraztu;
• erditzailea eta elkartzuta ebakitzen diren P puntua parabolako puntu bat izango da, TPF hirukia isoszele izanik, PF eta PT distantziak (fokutik parabolarako punturako eta zuzentzailetik parabolako punturako distantziak, alegia) berdinak baitira, parabolaren leku geometrikoaren definizioari jarraiki;
• T puntu ezberdinetarako prozesua errepikatuz, parabolako puntu ezberdinak lortuko dira.

Ekuazio kanonikoa

 

(h,k) puntuan erpina eta y=k-p zuzentzailea dituen parabolak ardatz bertikala izango du eta ekuazio kanonikoa hau izango da:

${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}$ 

Fokuaren koordenatuak (h,k+p) dira. p erpinetik zuzentzailera edo erpinetik fokura dagoen distantzia da.

Zuzentzailea x=h-p bada, erpina (h,k) izanik betiere, ardatz horizontala izango du eta bere ekuazioa hau izango da:

${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}$ 

Ardatza horizontala den kasu honetan fokuaren koordenatuak (h+p,k).

Horrela, erpina (0,0) puntuan edo jatorrian duen parabola baten ekuazioa, goruntz zabaltzen bada, ardatz bertikalez beraz, hau da:

${\displaystyle x^{2}=4py\,}$ 

 

Erpina (x₀,y₀) puntuetatik igarotzen bada hau da ekuazioa, p fokutik erpinera edo erpinetik zuzentzailera dagoen distantzia izanik:

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}=4p(y-y_{0})\,}$ 

Arestiko parabola beheruntz zabaltzen bada, hau da bere ekuazio kanonikoa:

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}=-4p(y-y_{0})\,}$ 

Erpina jatorrian duen parabola baten ekuazioa, eskubiruntz zabaltzen bada, ardatz horizontalez beraz, hau da:

${\displaystyle y^{2}=4px\,}$ 

Erpina (x₀,y₀) puntuetatik igarotzen bada hau da ekuazioa:

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}=4p(x-x_{0})\,}$ 

Arestiko parabola ezkerreruntz zabaltzen bada, hau da bere ekuazio kanonikoa:

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}=-4p(x-x_{0})\,}$ 

Latus rectum

 

${\displaystyle x^{2}=4py\,}$  parabolak (0,p) puntuan du fokua. Latus rectum zuzenkiaren muturreko puntuak (-2p,p) eta (2p,p) dira eta beraz, bere zabalera, zabalera fokala deitzen dena, 4p da. Beste parabola guztietan ere 4p da zabalera fokala, koordenatuetan beharrezko aldaketak eginez ikus daitekeen bezala.

Parabola funtzio koadratiko gisa

Parabolaren ardatza bertikala denean, ekuazio kanonikoa garatuz, funtzio koadratikoa lortzen da:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\ ;\ \ a\neq 0\,}$ 

Funtzio koadratiko guztiak parabolak dira, ardatz bertikalez:

• ${\displaystyle a>0\,}$  denean, goruntz zabaltzen da;
• ${\displaystyle a<0\,}$  denean, beheruntz zabaltzen da.

Ekuazio kanoniko batetik funtzio koadratiko erako ekuazio baterako bihurketa formula hauen bitartez egiten da:

${\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k.\ \ }$ 

Funtzio koadratikotik ekuazio kanonikora aldatzeko, berriz:

${\displaystyle p={\frac {1}{4a}};\ \ h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$ .

Ardatza horizontala denean, honela definitzen da funtzioa, aldagai independentetzat y hartuz:

${\displaystyle x=ay^{2}+by+c\ ;\ \ a\neq 0\,}$ 

• ${\displaystyle a>0\,}$  denean, eskubiruntz zabaltzen da;
• ${\displaystyle a<0\,}$  denean, ezkerreruntz zabaltzen da.

Ardatza horizontala den kasu honetan, honako hauek dira funtzio koadratiko-ekuazio kanoniko bihurketarako formulak:

${\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \ }$ 
${\displaystyle p={\frac {1}{4a}};\ \ {\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}}$ .

Ekuazio orokorra

Parabola konika edo kurba koadratiko jakin bat da. Kurba koadratikoen ekuazio orokorra hau da:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$ 

Ekuazio honetako soluzioek parabola bat osatuko dute baldin eta ${\displaystyle B^{2}-4AC=0\,}$  betetzen bada eta, aldi berean, ${\displaystyle A\not =0}$  edo ${\displaystyle C\not =0}$  betetzen bada.

Horrela, ${\displaystyle x\,}$  balio jakin baterako:

${\displaystyle y={\frac {-Bx+D}{2C}}\pm {\sqrt {2(BD-2CE)x+D^{2}-4CF}}}$ 

Funtzio koadratiko moduan edo era kanonikoan, parabolaren ardatza horizontala edo bertikala da. Parabola ekuazio orokorraz eratzen bada, bere ardatza zeiharra ere izan daiteke.

Ekuazioa koordenatu polarretan

Ardatz bertikala duen parabola baten ekuazioa koordenatu polarretan hau da, 2p foku-zabaleraren erdia izanik:

${\displaystyle r={\frac {2p}{1+\cos \theta }}}$ 

Ardatz horizontala bada:

${\displaystyle r=-{\frac {2p}{1+\cos \theta }}}$ 

Ekuazio parametrikoak

Parabolak denboran zehar egiten den ibilbide bat adierazten duenean egokiagoa izan daiteke, ekuazio parametrikoak erabiltzea, puntu bakoitza non dagoen azaltzeaz gainera, noiz gertatzen den ere adierazten dutelako.

Ardatza bertikala denean, (h,k) erpinaren koordenatuak eta p distantzia fokala izanik:

${\displaystyle x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,}$ 

Ardatza horizontala denean:

${\displaystyle x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,}$