Parabola

Ovo je glavno značenje pojma Parabola. Za druga značenja pogledajte Parabola (figura).

Najčešće se definira kao skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od zadane točke (žarišta) i zadanog pravca (ravnalice). Poluparametar parabole jest udaljenost od žarišta do ravnalice.

Ako je ravnalica parabole r usporedna ordinati (y-os koordinatnog sustava), i njena je jednadžba ${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}},}$  gdje je ${\displaystyle p}$  poluparametar parabole, tada je tjeme parabole u ishodištu koordinatnog sustava, a žarište parabole ima koordinate ${\displaystyle F({\frac {p}{2}},0),}$  pa jednadžba oblika:

${\displaystyle y^{2}=2px\,}$ 

predstavlja tjemenu jednadžbu parabole. Ako je parabola osnosimetrična u odnosu na ordinatu, tada je njezina jednadžba:

${\displaystyle x^{2}=2py\,}$ .

Jedna od najpoznatijih sintetičkih konstrukcija parabole je upravo konstrukcija koju je iznio poznati dubrovački matematičar novoga vijeka, Marin Getaldić. Tu je konstrukciju Getaldić iznio kao rješenje zadatka koji se nalazio u njegovom djelu Nonnullae propositiones de parabola (Rim 1603.).

Tekst zadatka je glasio: Parabolam as constructionem speculi as propositum intervalum comburentis in plano describere (Probl. II; propos.7). U prijevodu: "nacrtati u ravnini parabolu za konstrukciju zrcala, koje upaljuje u zadanom intervalu". Ovime je Getaldić bio na korak otkrivanju analitičke geometrije. Ipak, presudni skok su načinili tek Pierre de Fermat i Rene Descartes nekoliko desetljeća kasnije.

Nacrtajmo dvije međusobno okomite osi. Na sjecištu osi označimo točku A. Na okomitoj osi zadajmo točku B. Nacrtajmo točke C, D, E iznad A tako da vrijedi ${\displaystyle |AC|=|CD|=|DE|.}$  Nacrtajmo ispod A točke F, G, H tako da vrijedi ${\displaystyle |AF|=|AC|,|AG|=|AD|,|AH|=|AE|.}$  Nacrtajmo kružnice sa središtem u točki B i pripadajućim polumjerima ${\displaystyle |BC|,|BD|,|BE|}$ . Povucimo okomice na dužinu AB koje će prolaziti točkama F, G, H. Sjecišta okomica i kružnica označimo točkama O, M, K, L, N i P. Krivulja koja povezuje točke O, M, K, L, N i P čini parabolu. Što su točke C, D, E, tj. F, G, H međusobno bliže, i što je takvih točaka više, parabola će biti preciznije iscrtana.

Dokaz. Prenese li se AQ, tj. četverostruka dužina od AB, pa se povuče KB, bit će zbog ${\displaystyle |BC|=|BK|}$  ujedno ${\displaystyle |BC|^{2}=|BK|^{2}}$  pa kako je ${\displaystyle |KB|^{2}=|KF|^{2}+|FB|^{2}}$  (1), a ujedno (Euklid, Elementi, II, 8): ${\displaystyle 4|AF|\cdot |AB|+|BF|^{2}=(|AB|+|AF|)^{2}=|BC|^{2},}$  imat ćemo iz (1): ${\displaystyle 4|AF|\cdot |AB|=|KF|^{2}}$ . Kako je pak ${\displaystyle |AQ|=4|AB|}$  bit će ${\displaystyle |AQ|\cdot |AF|=4|AB|\cdot |AF|}$ .

Zato vrijedi ${\displaystyle |AQ|\cdot |AF|=|KF|^{2}}$ , što je zapravo jednadžba parabole, čime je konstrukcija dokazana.

Tangenta parabole kojoj je tjeme u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  na paraboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući odgovarajuću jednadžbu parabole dobiva se:

${\displaystyle 2ydy=2pdx\,}$ 

odakle slijedi da je

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,={\frac {p}{y}}}$ 

odn. da je jednadžba tangente na parabolu

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {p}{y}}(x-x_{0})\,}$ .

Ako je parabola osnosimetrična u odnosu na ordinatu (y-os) koordinatnog sustava, tada diferencirajući odgovarajuću jednadžbu parabole slijedi da je

${\displaystyle 2xdx=2pdy\,}$ 

odakle slijedi da je

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha ={\frac {x}{p}}}$ 

odn. da je jednadžba tangente na parabolu

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {x}{p}}(x-x_{0})\,}$ .

Tjeme preko Viétovih formula

Neka su ${\displaystyle x_{1}}$  i ${\displaystyle x_{2}}$  točke na paraboli koja je dana jednadžbom ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  jednako udaljene od njezina tjemena, te neka je, bez smanjenja općenitosti, ${\displaystyle x_{1}$ . Tada se apscisa tjemena ${\displaystyle x_{0}}$ , nalazi na pravcu koji prolazi polovištem intervala ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ , tj. ${\displaystyle x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ , odnosno koristeći Viétove formule ${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{2a}}}$ .

Kako ordinata tjemena ovisi o ${\displaystyle x_{0}}$ , odnosno vrijedi ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$  pa uvrštavajući u jednadžbu dane parabole dobivamo ${\displaystyle y_{0}={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$ .

Prema tome, koordinate tjemena svake parabole su ${\displaystyle T({\frac {-b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}})}$ .

Tjeme preko vertikalne translacije parabole

Izvod formule za tjeme ima još jedno geometrijsko značenje.

Treba uočiti da je apscisa tjemena parabole predočene grafom ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  potpuno neovisna o broju ${\displaystyle c}$ . Zato možemo sve parabole tog oblika translatirati tako da bude ${\displaystyle c=0}$  čime im se nultočke jesu promijenile, no to ne predstavlja problem jer je apscisa tjemena svake od njih ostala nepromijenjena.

Neka je sada ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx}$ . Istaknut ćemo njezine nultočke ako zapišemo ${\displaystyle f(x)}$  u obliku ${\displaystyle f(x)=x(ax+b)}$ . Očito je da će parabola sijeći x-os za ${\displaystyle x=0,x=-{\frac {b}{a}}}$ . Zbog simetrije parabole, apscisa tjemena je točno između tih dviju točaka, tj. apsisa tjemena iznosi ${\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{2a}}}$ .