Multzo Ireki

Adibiderik sinpleena hau da: espazio metrikoetan multzo irekiak beren puntu guztietan zentratutako bola bat parte duten multzo gisa definitu daitezke. Hala ere, multzo ireki bat, orokorrean, oso abstraktua izan daiteke: multzoz osaturiko edozein bilduma multzo irekien bilduma izango da baldin eta bilduma horretako multzoen edozein bildura eta ebakidura finituak bilduma horretan badaude; eta horrez gain, espazio osoa eta multzo hutsa bilduma horretan badaude.

Baldintza hauek ez dira oso zehatzak eta multzo irekien aukeraketan malgutasun handia ematen dute.  Bi muturretan, multzo guztiak irekiak izan daitezke (topologia diskretua), edo posible da ф eta X ez den beste multzo irekirik ez egotea (topologia indiskretua).

Multzo irekiaren ideiak espazio topologikoetako puntuen gertutasunaz hitz egitea ahalbidetzen du, distantzia kontzeptua zehazki definitua egon gabe.  Behin multzo irekiak aukeratuta, jarraitutasuna, konexutasuna eta trinkotasuna bezalako propietateak, zeintzuk gertutasunaren ideia erabiltzen/jasotzen duten, multzo ireki horien bitartez defini daitezke.

Multzo irekien aukeraketa bakoitzari topologia deritzo.

Multzo irekiaren kontzeptua orokortasun maila ezberdinarekin gauzatu daiteke; adibidez:

Espazio euklidearrak:

ℝⁿ-ko Espazio euklidearraren U azpimultzoa irekia da baldin eta U-ko edozein x puntu emanda, existitzen bada Ɛ>0 non d(x,y)< Ɛ betetzen duten y ${\displaystyle \in }$ ℝⁿ puntu guztiak U multzoan dauden.  Beste era batean esanez, ℝⁿ-ren U azpimultzoa irekia da baldin eta U multzoko puntu bakoitzaren ingurune bat U-ren parte bada.

Aurreko definizioa espazio metriko orokorretara heda daiteke.

Espazio metrikoak:

Izan bedi (X,d) espazio metrikoa.  Esaten da U${\displaystyle \subseteq }$ X multzo ireki bat dela baldin eta x ${\displaystyle \in }$ U guztietarako existitzen bada bola ireki bat non B(x,Ɛ) ${\displaystyle \subseteq }$ U den.

Espazio topologikoak:

Orokorrean, espazio topologikoetan multzo irekiak ia edozer izan daitezke, aukera ezberdinekin espazio ezberdinak eratuz.

Izan bitez X multzoa eta ${\displaystyle \tau }$  bere azpimultzoen familia. Esaten da ${\displaystyle \tau }$  familia X-ren gaineko topologia dela baldin eta:

• ${\displaystyle X\in \tau ,\phi \in \tau }$  (${\displaystyle X}$  eta ${\displaystyle \phi }$  ${\displaystyle \tau }$ -n daude)
• {${\displaystyle O_{i}}$ } ${\displaystyle _{i\in I}}$ ${\displaystyle \subseteq \tau \Rightarrow \bigcup _{i\in I}O_{i}\in \tau }$  (${\displaystyle \tau }$ -ko multzoen edozen bildura ${\displaystyle \tau }$ -n dago)
• ${\displaystyle \{O_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq \tau \Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}O_{i}\in \tau }$  (${\displaystyle \tau }$ -ko multzoen ebakidura finitua ${\displaystyle \tau }$ -n dago)

${\displaystyle \tau }$  familiako multzoei multzo ireki deritze eta ${\displaystyle (X,\tau )}$  bikoteari, espazio topologiko.

Multzo irekien definizio topologikoak espazio metrikoen definizioa orokortzen du:  Espazio metriko batetik abiatuz gero eta multzo irekiak lehengo moduan definituz gero, orduan multzo ireki guztien familia espazio metrikoaren gaineko topologia bat da. Beraz, espazio metriko bakoitza, era naturalean, espazio topologiko bat da.  Hala ere, badaude espazio metrikoak ez diren espazio topologikoak.

Topologian, multzo itxia multzo irekiaren osagarriari deritzo. Formalkiago esanda, ${\displaystyle (X,\tau )}$  espazio topologiko bat emanda, ${\displaystyle F\subseteq X}$  multzo itxia da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle X\setminus F}$  ${\displaystyle \tau }$  topologiako elementu bat bada, hau da, ${\displaystyle X\setminus F}$  irekia bada.

“Irekia”-ren definizioa topologia konkretu baten araberakoa da. Hau da, multzo bat irekia izan daiteke topologia batean eta multzo berdina irekia ez izan beste topologia batean.

Irekia eta itxia ez dira bata bestearekiko baztertzaileak.  Multzo bat irekia eta itxia izan daiteke aldi berean, edo ez bat ez beste.  Adibidez, edozein topologiatan φ eta X (multzoa bera) itxiak eta irekiak dira aldi berean.