Matematika Gorputz

${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ gorputza da baldin:

• ${\displaystyle A}$  multzoa gutxienez bi elementu ditu.
• ${\displaystyle +}$ eragiketa ${\displaystyle A}$ -ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a+b)+c=a+(b+c)}$ 
• ${\displaystyle +}$ Propietate trukakorra betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b\in A:a+b=b+a}$ 
• Existitzen da ${\displaystyle 0_{A}\in A}$ non ${\displaystyle \forall a\in A:a+0_{A}=a}$ . ${\displaystyle 0_{A}}$ ${\displaystyle +}$ eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• ${\displaystyle A}$ -ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa gehiketarekiko (simetrikoa), hau da: ${\displaystyle \forall a\in A,\exists a'\in A:a+a'=0_{A}}$ 
• ${\displaystyle \cdot }$ eragiketa ${\displaystyle A}$ -ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ 
• ${\displaystyle \cdot }$ eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: ${\displaystyle \forall a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ 
• Existitzen da ${\displaystyle 1_{A}\in A}$ non ${\displaystyle \forall a\in A:a+0_{A}=a}$ . ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle \cdot }$ eragiketarekiko elementu neutri moduan denotatuko dugu.
• ${\displaystyle A-\{0_{A}\}}$ elementuentzako alderantzizkoa existitzen da biderketarekiko, hau da: ${\displaystyle \forall a\in A,\exists a^{-1}\in A:a\cdot a^{-1}=1_{A}}$ 

Propietate guzti hauek betetzen dituen multzoa eta eragiketak gorputz bat eratzen dute.

Gorputzak definitzeko era sinpleagoa existitzen da:

${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ gorputza da baldin:

• ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ eraztun ez tribiala da.
• Existitzen da ${\displaystyle 1_{A}\in A}$ non ${\displaystyle \forall a\in A:a\cdot 1_{A}=a}$ . ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle \cdot }$ eragiketarekiko elementu neutri moduan denotatuko dugu.
• ${\displaystyle A-\{0_{A}\}}$ elementuentzako alderantzizkoa existitzen da biderketarekiko, hau da: ${\displaystyle \forall a\in A,\exists a^{-1}\in A:a\cdot a^{-1}=1_{A}}$ 

Sintetikoki, P eraztun bati gorputza deitzen zaio, ez baldin badago zerotik bakarrik, eta bertan zatiketa posible da kasu guztietan (zero bidezko zatiketa izan ezik), eta hori unibokoki determinatzen da, hau da, P motako edozein elementurentzat, zeinetatik n zerotik desberdina baita, P-n elementu bat q, eta bakarra, nq = m berdintasuna betetzen duena. Q elementuari m eta n elementuen zatidura esaten zaio, eta q = m/n

F gorputza a elementu bakoitzerako integritate-domeinu bat da. Berdintasuna egiaztatzen duen «alderantzizko» a^-1 :

${\displaystyle a^{-1}\cdot a=1}$ 

H eremua 1 unitatea duen eraztun kommutatiboa da. 0, non elementu bakoitza. 0 alderantzizkoa da. H* = U (H) taldea, alderantzizko biderkatzailea duten elementu guztiez osatua, eremuaren talde biderkatzailea deitzen da.

Eremu hori (bat) abeltzain bi eremuren hibridoa da, bata gehigarria eta bestea biderkatzailea, banaketa-legeak lotuak, eta nahikoa da aurkezpen bat, biderketak propietate kommutatiboa duelako. CD^-1 produktua notazio zatikatuan idazten da c/d gisa. c/d frakzioa ${\displaystyle d\neq 0}$  denean bakarrik dago zehaztuta eta dt = c ekuazioaren soluzio bakarra da.

Arrazionalak eta aljebraikoak

Zenbaki arrazionalak zenbaki osoetarako isomorfo multzo bat duen zenbaki-gorputz bat da, notazioz, ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Z} }}$ , bezala ere izendatzen dena.

Zenbaki arrazional oro zatiki multzo baten bidez adieraz daiteke, baina arrazionalen multzoa ez da zatikien multzoarekin identifikatu behar (1/2 eta 2/4 zenbaki erreal bera adierazten duten bi zati ezberdin baitira). Arrazionalak definitzeko, zatiki guztien gaineko baliokidetasun-erlazio bat hartu behar da kontuan:

${\displaystyle F=\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\}}$ 

a/b eta c/d zatien arteko baliokidetasun-erlazioa erlazionatuta dago ad = bc bada, hau da:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\thicksim {\frac {c}{d}}\iff ad=bc}$ 

Baldintza horietan, arrazionalen multzoa zatikien multzoa zatitzen den baliokidetasun-moten multzoa da. ${\displaystyle \mathbb {Q} =F/\thicksim }$ 

Zenbaki arrazionalek ez dute osatzen gorputz aljebraikoki itxi bat, gorputzen teoriaren teorema garrantzitsu batek erakusten du gorputz aljebraikoki itxi baten existentzia, lehenengoa barne hartzen duena (isomorfo multzo bat soilik). Arrazionalak aljebraikoki itxiak ez direnez, haien itxitura aljebraikoa existitzen da eta eraiki daiteke, eta multzo horri zenbaki aljebraikoen gorputza deitzen zaio, honako hau froga daiteke:

${\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {A} \subsetneq \mathbb {C} ,\qquad \mathbb {A} \nsubseteq \mathbb {R} }$ 

Zenbaki konplexuek zenbaki aljebraikoen gorputza eta zenbaki errealak dituzte. Hala ere, errealek ez dituzte algebraikoak, adibidez, ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}\in \mathbb {A} }$  .

Gainera, zenbaki arrazionalak eta zenbaki aljebraikoak zenbakizko multzoak direla froga daiteke, errealak eta konplexuak ez diren bitartean:

${\displaystyle {\text{card}}\ \mathbb {Q} ={\text{card}}\ \mathbb {A} =\aleph _{0}<{\text{card}}\ \mathbb {R} ={\text{card}}\ \mathbb {C} =\aleph _{1}}$ 

Zenbaki erreal eta konplexuak

Zenbaki errealek ,${\displaystyle \mathbb {R} }$ , ohiko eragiketekin, gorputz bat osatzen dute.

Zenbaki hipererrealek zenbaki errealak gehi zenbaki infinitesimal eta infinituak dituen gorputza osatzen dute. Zenbaki surrealek errealak dituen gorputz bat osatzen dute, salbu eta klase propio bat badira, ez multzo bat.

Zenbaki errealek hainbat azpigune interesgarri dituzte: zenbaki erreal aljebraikoak, zenbaki konputagarriak eta zenbaki definigarriak.

Zenbaki konplexuak honelako adierazpena dute:

${\displaystyle z=a+bi}$ 

non ${\displaystyle i}$  alegiazko unitatea den (zenbaki ez erreala) eta hau betetzen du, ${\displaystyle i^{2}=-1}$ 

Zenbaki errealak gehitzea eta biderkatzea honela definitzen da, gorputzeko axioma guztiak, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -rako bete daitezen.

Funtzioen gorputzak

K gorputz jakin baterako, X aldagaian funtzio arrazionalen K(X) multzoa, K-n koefizienteak dituena, gorputz bat da; K-n koefizienteak dituzten polinomioen zatiduren multzoa da.

K gorputza bada, eta p (X) polinomio murriztezina bada F [X] polinomio-eraztun batean, orduan F [X]/< p (X) > zatidura K. subgorputz isomorfo bat duen gorputza da. Adibidez, ${\displaystyle R[X]/(X^{2}+1)}$  gorputza da (izatez, isomorfoa da zenbaki konplexuen gorputzera).

Azpigorputzak

Izan bitez E eta K bi gorputz, E dute K-ren azpimultzo bat (hau da, 0 eta 1 dituen K-ren azpimultzo bat, K-ren + eta * eragiketen azpian itxia eta bere eragiketak murrizketaren bidez definituak dituena). Izan bedi x K-ren elementu bat, E-rena ez dena. Orduan, E(x) da K-ren azpimultzorik txikiena, E eta a x dituena. Adibidez, Q(i) C zenbaki konplexuen azpimultzoa da, a+bi formako zenbaki guztiak dituena, non a eta b zenbaki arrazionalak baitira.

Adibide konkretu batzuk:

${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$  Eraztun ez tribiala da, baina ez da gorputza ez delako existitzen zenbaki gehienen alderantzizkorik, adibidez 2 zenbakiaren alderantzizkoa 1/2 da, eta azken zenbaki hau ez da existitzen multzo barruan.

${\displaystyle (i)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}$  Eraztun ez tribiala da.

${\displaystyle (ii)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -ren elementu neutroa biderkaketarekiko existitzen da: ${\displaystyle 1}$  zenbakia, non ${\displaystyle \forall a\in A:a\cdot 1=a}$ 

${\displaystyle (iii)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ -ren edozein elementua ${\displaystyle 0}$  izan ezik (gehiketarekiko elementu neutroa) alderantzizkoa du: ${\displaystyle \forall a\in A,\exists a^{-1}\in A:a\cdot a^{-1}=1\Longrightarrow a^{-1}={\frac {1}{a}}}$ 

Beraz, ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )}$  gorputza da.

Adibidez, gorputzak: ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot ),(\mathbb {R} ,+,\cdot ),(\mathbb {C} ,+,\cdot )}$ 

• Gorputzen teoria