Matematika Eragiketa

Eragileak hasierako elementuak hartzen ditu eta beste elementuekin erlazionatzen ditu bukaerako multzo bat sortzeko; horri teknikoki konposizioaren legea deritzo.

Aritmetikan eta kalkuluan hasierako multzoaren osagaiak mota bakar batekoak edo zenbaitetakoak izan daitezke:

• Mota bakarrekoak: eragiketa aritmetikoak soilik zenbakien gainean jokatzen dute.
• Mota bat baino gehiagokoak: eskalar bat bider bektore baten produktuak espazio bektorial bat osatzen duten bektoreen eta eskalarren bilduren multzo osoa biltzen du.

Eragiketan parte hartzen duten taldeen arabera eta gure asmoen arabera, eragiketak bi motetan sailka ditzakegu: barnekoak eta kanpokoak.

• Batuketa operazioa (+)
  • ${\displaystyle \,a+b}$  idazten da
  • Trukakorra da: ${\displaystyle \,a+b=b+a}$ 
  • Elkarkorra da: ${\displaystyle \,(a+b)+c=a+(b+c)}$ 
  • Alderantzizko eragiketa bat du, kenketa: ${\displaystyle \,(a+b)-b=a}$ , aurkakoa gehitzearen bera dena, ${\displaystyle \,a-b=a+(-b)}$ 
  • 0 elementu neutroak ez du batura aldatzen: ${\displaystyle \,a+0=a}$ 

• Biderketa operazioa (×)
  • ${\displaystyle \,(a\times b)}$  edo ${\displaystyle \,(a\cdot b)}$  idazten da
  • n aldiz errepikatutako batuketa bat da: ${\displaystyle a\times n=a+a+\ldots +a}$ 
  • Trukakorra da: ${\displaystyle \,(a\cdot b)}$  = ${\displaystyle \,(b\cdot a)}$ 
  • Elkarkorra da: ${\displaystyle \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ 
  • Alborakuntza bitartez laburtzen da: ${\displaystyle a\cdot b\equiv ab}$ 
  • b≠0 diren zenbakientzako alderantzizko eragiketa bat du, zatiketa: ${\displaystyle {\frac {(ab)}{b}}=a}$ , alderantzizkoa biderkatzearen bera dena, ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\left({\frac {1}{b}}\right)}$ 
  • 1 elementu neutroak ez du batura aldatzen: ${\displaystyle a\times 1=a}$ 
  • Baturari dagokionez banakorra da: ${\displaystyle \,(a+b)\cdot c=ac+bc}$ 

• Berreketa operazioa
  • ${\displaystyle \,a^{b}}$  idazten da
  • n aldiz errepikatutako biderketa bat da: ${\displaystyle a^{n}=a\times a\times \ldots \times a}$ 
  • Ez da trukakorra ezta elkarkorra ere: orokorki ${\displaystyle \,a^{b}\neq b^{a}}$  eta ${\displaystyle \,(a^{b})^{c}\neq a^{(b^{c})}}$ 
  • Alderantzizko eragiketa bat du, logaritmoa: ${\displaystyle \,a^{log_{a}b}=b=log_{a}a^{b}}$ 
  • n-garren erro terminoetan idatz daiteke: ${\displaystyle \ a^{m/n}\equiv ({\sqrt[{n}]{a^{m}}})}$  eta, ondorioz, zenbaki negatiboen erro karratu bikoitiak ez dira existitzen zenbaki errealen sisteman. (Begiratu: [Zenbaki konplexu|Zenbaki konplexuen sistema]])
  • Biderketari dagokionez banakorra da: ${\displaystyle \,(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}}$ 
  • Propietate hau du: ${\displaystyle \ {a^{b}}\cdot {a^{c}}=a^{b+c}}$ 
  • Propietatu hau du: ${\displaystyle \,(a^{b})^{c}=a^{bc}}$ 

Eragiketen ordena

Adierazpen baten balioa osatzeko ordena jakin batean kalkulatu behar dira bere zatiak, eragiketen lehentasun ordena deritzo. Lehenengo, elkartze-zeinuetan (parentesi, kortxete, giltzak) sartuta dauden espresioen balioak kalkulatzen dira, ondoren berreketak, gero biderketak eta zatidurak, eta azkenik, batuketak eta kenketak.

Berdintzaren propietateak

Berdintza (=) erlazioa:

• Erreflexiboa da: ${\displaystyle \,a=a}$ 
• Simetrikoa da: ${\displaystyle \,a=b}$  bada orduan ${\displaystyle \,b=a}$ 
• Iragankorra da: ${\displaystyle \,a=b}$  bada eta ${\displaystyle \,b=c}$  bada orduan ${\displaystyle \,a=c}$ 

Berdintzaren legeak

Berdintza (=) erlazioak honako propietateak ditu:

• ${\displaystyle \,a=b}$  bada eta ${\displaystyle \,c=d}$  bada orduan ${\displaystyle \,a+c=b+d}$  eta ${\displaystyle \,ac=bd}$ 
• ${\displaystyle \,a=b}$  bada orduan ${\displaystyle \,a+c=b+c}$ 
• Bi zeinu berdinak badira, orduan batak bestea ordezka dezake.
• Baturaren erregulartasuna: zenbaki errealekin edo konplexuekin lan egitean ${\displaystyle \,a+c=b+c}$  bada orduan ${\displaystyle \,a=b}$ .
• Biderketaren baldintzazko erregulartasuna: ${\displaystyle \,a\cdot c=b\cdot c}$  bada eta ${\displaystyle \,c}$  ez bada zero, orduan ${\displaystyle \,a=b}$  .

Desberdintzaren legeak

Desberdintza (<) erlazioak honako propietateak ditu:

• Iragankortasuna: ${\displaystyle \,a$  bada eta ${\displaystyle \,b$  bada orduan ${\displaystyle \,a$ 
• ${\displaystyle \,a$  bada eta ${\displaystyle \,c$  bada orduan ${\displaystyle \,a+c$ 
• ${\displaystyle \,a$  bada eta ${\displaystyle \,c>0}$  bada orduan ${\displaystyle \,ac$ 
• ${\displaystyle \,a$  bada eta ${\displaystyle \,c<0}$  bada orduan ${\displaystyle \,bc$ 

Zeinuen erregela

Zenbaki positiboen (+) eta negatiboen (-) biderkaduran eta zatiduran hurrengo erregelak betetzen dira:

• Edozein zenbaki positibo bider beste zenbaki positibo bat eginez gero, zenbaki positibo bat izango da emaitza.
• Edozein zenbaki positibo bider zenbaki negatibo bat eginez gero, zenbaki negatibo bat izango da emaitza.
• Edozein zenbaki negatibo bider beste zenbaki negatibo bat eginez gero, zenbaki negatibo bat izango da emaitza.

${\displaystyle {\begin{cases}+\cdot -=-\\+\cdot +=+\\-\cdot -=+\\-\cdot +=-\end{cases}}}$