Imaginara Unuo: Unu el la du kvadrataj radikoj de −1 en la korpo de kompleksaj nombroj

Tial ĝi estas solvaĵo de la kvadrata ekvacio

x² + 1 = 0

aŭ ekvivalente

x² = -1

La imaginara unuo estas ofte lakse nomata la "kvadrata radiko de -1", tamen zorgo devas esti ĉar estas fakte du kvadrataj radikoj de -1, ili estas i kaj -i.

Reelaj nombraj operacioj povas esti etenditaj al kompleksaj nombroj. La difino de imaginara unuo povas esti uzata por anstataŭi ĉiun aperaĵo de i² per -1. Tiel pli altaj entjeraj potencoj de i estas cikle -i, 1, i, −1:

i³ = i² i = (-1) i = -i
i⁴ = i³ i = (-i) i = -(i²) = -(-1) = 1
i⁵ = i⁴ i = 1 i = i
...

Imaginara unuo estas algebra nombro ĉar ĝi estas radiko de polinomo kun entjeraj koeficientoj.

La difinanta ekvacio x² + 1 = 0 estas kvadrata polinomo sen obla radiko, kaj do ĝi havas du malsamajn solvaĵojn, kiu estas egale validaj kaj kiuj estas kontraŭegaloj unu de la alia, alivorte ilia sumo egalas al 0. Pli detale, se solvaĵo i de la ekvacio havas estas fiksita, la valoro -i, estas ankaŭ solvaĵo. Eblas pruvi algebre, ke i ne estas egala al -i. Pro tio ke la ekvacio estas la nura difino de i, ŝajnas ke la difino estas ambigua, aŭ i estas ne bone-difinita.

Tamen, neniu multvaloreco rezultas se unu el la solvaĵoj estas elektita kaj fiksita kiel la i. Ĉi tio estas ĉar, kvankam -i kaj i estas kvantece ne ekvivalentaj (ili estas negativoj unu de la alia), ne estas kvaliteca diferenco inter i kaj -i. Ĉiu el la ambaŭ kompleksaj nombroj egale estas tia ke ĝia kvadrato estas -1. Se ĉiuj matematikaj libroj uzantaj imaginarajn aŭ kompleksajn nombrojn estus reskribitaj kun -i anstataŭ i en ĉiu aperaĵo (kaj pro tia ĉiu aperaĵo de -i estus anstataŭita per -(-i) = i), ĉiuj faktoj kaj teoremoj devus daŭre esti ekvivalente validaj. La distingo inter la du radikoj de la ekvacio kun konsidero de unu el ili kiel estanta je pozitiva parto de imaginara akso estas pure skribmaniera afero; neniu radiko el la du estas pli unueca aŭ fundamenta ol la alia.

La problemo povas esti subtila. La plej preciza ekspliko estas diri ke kvankam la kompleksa kampo, difinita kiel R[X]/ (X² + 1), estas unika supren ĝis izomorfio, ĝi estas ne unika supren ĝis unika izomorfio, do estas akurate 2 kampaj aŭtomorfioj de R[X]/ (X² + 1), la idento kaj la aŭtomorfio sendanta X al -X. Ĉi tiuj estas ne la nuraj kampaj aŭtomorfioj de C, sed estas la nuraj kampaj aŭtomorfioj de C kiu konservas ĉiujn reelajn nombrojn.

En ĉi tiu okazo, la multvaloreco rezultas de la geometria elekto de tio kiu direkto ĉirkaŭ la unua cirklo estas pozitiva turnado. Pli preciza ekspliko estas diri ke la aŭtomorfia grupo de la speciala perpendikulara grupo SO (2, R) havas akurate 2 erojn - la identon kaj la aŭtomorfion kiu interŝanĝas la laŭhorloĝnadlan kaj la kontraŭhorloĝnadlan turnadojn.

Ĉiuj ĉi tiuj multvalorecoj povas esti solvitaj per uzo de pli rigora difino de kompleksaj nombroj (la kampo de kompleksaj nombroj), kaj eksplicita elekto de unu el la solvaĵoj de la ekvacio kiel la imaginara unuo. Tiel imaginara unuo estas ordigita duopo (0, 1) en la kutima konstruado de la kompleksaj nombroj per du-dimensiaj vektoroj.

La imaginara unuo estas iam skribata kiel ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ . Tamen, granda zorgo bezonatas en manipulado de formuloj kun ĉi tiaj radikoj. La skribmaniero ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$  estas uzata aŭ por la ĉefa kvadrata radika funkcio, kiu estas nur difinita por reela x ≥ 0, aŭ por la ĉefa branĉo de la kompleksa kvadrata radika funkcio. Provo apliki la kalkulajn regulojn de la ĉefa reela kvadrata radika funkcio por manipuli la ĉefan branĉon de la kompleksa kvadrata radika funkcio produktas malverajn rezultojn, ekzemple:

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$  (malĝusta)

Provo fari ĝustan kalkuladon per preciziganto de ambaŭ la pozitiva kaj la negativa radikoj produktas ambiguajn rezultojn:

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$  (ambigua)

La uzata pli supre regulo

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$ 

estas valida nur se radiko de la produto ab ne okazas sur la alia branĉo de la kompleksa kvadrata radika funkcio; por a=b=-1 ĝi ja okazas sur la alia branĉo.

Por eviti ĉi tiajn erarojn en manipulantado de kompleksaj nombroj, strategio estas neniam uzi negativan nombron sub kvadrata radika signo. Ekzemple, anstataŭ skribi kiel ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$  necesas skribi kiel ${\displaystyle i{\sqrt {7}}}$ .

Oni povus konjekti ke plua aro de alispecaj nombroj bezonatas por kalkulo de la kvadrata radiko de i. Tamen ĉi tio ne estas necesa ĉar la kvadrata radiko de i povas esti esprimita per kompleksaj nombroj:

${\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}$ 

Ja, kvadratigo de la dekstra flanko donas

${\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}=\!}$ 
${\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}=\!}$ 
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)=\!}$ 
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})=\!}$ 
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i-1)=\!}$ 
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)=\!}$ 
${\displaystyle =i\!}$ 

La inverso de i estas

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i}$ 

Uzado de la idento por ĝenera formulo de divido per i de uj kompleksaj nombroj donas:

${\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai}$ 

La entjeraj potencoj de i ripetiĝas en ciklo:

...
i⁻⁵ = -i
i⁻⁴ = 1
i⁻³ = i
i⁻² = -1
i⁻¹ = -i
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
i⁵ = i
i⁶ = -1
...

Ĉi tio povas esti esprimita kun jena ŝablono kie n estas entjero:

i⁴ⁿ = 1
i⁴ⁿ⁺¹ = i
i⁴ⁿ⁺² = -1
i⁴ⁿ⁺³ = -i

aŭ

iⁿ = i^{n mod 4}

kie mod estas la modula operacio (kiu egalas al restaĵo de entjera divido por pozitivaj nombroj).

La eŭlera formulo estas

e^ix = cos(x) + isin(x)

kie x estas reela nombro. La formulo povas ankaŭ esti analitike etendita por kompleksaj x.

Meto de x=π donas

e^iπ = cos(π) + isin(π) = -1 + i0

el kio sekvas la eŭlera idento:

e^iπ + 1 = 0

Ĉi tiu formulo interligas la kvin gravajn matematikajn kvantojn 0, 1, π, e, i) per la bazaj operacioj adicio], multipliko, potencigo.

Sekvoj

Meto de x = π/2 - 2πN, kie N estas ajna entjero, donas

${\displaystyle e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i}$ 

Aŭ, potencigante la ambaŭ flankojn al potenco i,

${\displaystyle e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}}$ 

aŭ

${\displaystyle e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}}$ 

kio montras ke iⁱ havas malfinian kvanton de valoroj de formo

${\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}}$ 

kie N estas ĉiu entjero. Ĉi tiu valoro estas reala, sed ĝi estas ne unike difinita, pro tio ke la kompleksa logaritmo estas plurvalora funkcio.

Meto de N = 0 donas la ĉefan valoron

iⁱ = e^-π/2 = 0,2078795763...

Nombro en al la potenco ni estas:

xⁿⁱ = cos(ln(xⁿ)) + i sin(ln(xⁿ))

La ni-a radiko de nombro estas:

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))}$ 

La imaginaro-baza logaritmo de nombro estas:

${\displaystyle \log _{i}(x)={\frac {2\ln(x)}{i\pi }}}$ 

kaj kiel ĉiu logaritmo, la logaritmo de bazo i estas ne unike difinita.

La kosinuso de i estas reela nombro:

${\displaystyle \cos(i)=\cosh(1)={\frac {e+1/e}{2}}={\frac {e^{2}+1}{2e}}=1,54308063481524...}$ 

La sinuso de i estas imaginara:

${\displaystyle \sin(i)=\sinh(1)\,i={\frac {e-1/e}{2}}\,i={\frac {e^{2}-1}{2e}}\,i=1,17520119364379...i}$ 

La tangento de i estas imaginara:

${\displaystyle \tan(i)=-i{\frac {e^{-1}-e}{e^{-1}+e}}=0,761594155955762...i}$ 

En elektra inĝenierarto kaj rilatantaj kampoj, la imaginara unuo estas ofte skribata kiel j por eviti konfuzon kun elektra kurento kiel funkcio de tempo, tradicie skribata kiel i(t) aŭ simple i.

Iuj tekstoj uzas la grekan literon joto ( ι ) por la imaginara unuo al eviti konfuzo.

Iu superflua zorgo bezonas ĉar en iuj lernolibroj estas uzata difino j = -i, aparte en priskribo de vojaĝantaj ondoj. Ekzemple, vojaĝanta ebena ondo en la x direkto povas esti priskribita kiel ${\displaystyle e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}}$ .

• Kvadrata radiko
• Radiko (matematiko)
• Radiko de unu
• Imaginaro
• Kompleksa nombro
• Kompleksa ebeno
• Kompleksa konjugito
• Aŭtomorfio
• Galezagrupo
• Perpendikulara grupo
• Branĉa punkto
• Kompleksa logaritmo
• Plurvalora funkcio

• Eŭlera laboro pri imaginaraj radikoj de polinomojje
• Matematika Reto de Universitato de Toronto: Kio estas la kvadrata radiko de i?