Лагранжава Механіка

У лагранжавай механіцы траекторыя аб’екта атрымліваецца пры дапамозе адшукання шляху, які мінімізуе дзеянне — інтэграл ад функцыі Лагранжа па часе. Функцыя Лагранжа для класічнай механікі ўводзіцца ў выглядзе рознасці паміж кінетычнай энергіяй і патэнцыяльнай энергіяй.

Класічная механіка

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})}$ Другі закон Ньютана

Гісторыя… Фундаментальныя паняцці Прастора · Час · Маса · Сіла Энергія · Імпульс Фармулёўкі Ньютанаўская механіка Лагранжава механіка Гамільтанава механіка Фармалізм Гамільтана — Якобі Раздзелы Прыкладная механіка Нябесная механіка Механіка суцэльных асяроддзяў Геаметрычная оптыка Статыстычная механіка Вучоныя Галілей · Кеплер · Ньютан Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамільтан · Кашы

глядзець размовы правіць

Гэта значна спрашчае мноства фізічных задач. Напрыклад, разгледзім пацерку на абручы. Калі вылічаць рух, выкарыстоўваючы другі закон Ньютана, то трэба запісаць складаны набор ураўненняў, якія ўлічваюць усе сілы, якія дзейнічаюць на абруч з боку пацеркі ў кожны момант часу. З выкарыстаннем лагранжавай механікі рашэнне той жа самай праблемы становіцца нашмат прасцей. Трэба разгледзець усе магчымыя рухі пацеркі па абручы, і матэматычна знайсці той, які мінімізуе дзеянне. Тут менш ураўненняў, бо не трэба непасрэдна вылічаць уплыў абруча на пацерку ў дадзены момант. Праўда, у дадзенай задачы ўраўненне ўсяго толькі адно, і яго можна атрымаць таксама з закона захавання механічнай энергіі.

Лагранжыян і прынцып найменшага дзеяння

Механічная сістэма характарызуецца абагульненымі каардынатамі ${\displaystyle q}$  і абагульненымі скарасцямі ${\displaystyle {\dot {q}}}$ . Механічнай сістэме ставіцца ў адпаведнасць функцыя Лагранжа — лагранжыян, якая залежыць ад абагульненых каардынат і скарасцей, і, магчыма, непасрэдна ад часу — ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ . Інтэграл па часе ад лагранжыяна пры зададзенай траекторыі называюць дзеяннем ${\displaystyle S}$ :

${\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q,{\dot {q}},t)dt.}$ 

Ураўненні руху ў лагранжавай механіцы заснаваныя на прынцыпе найменшага (стацыянарнага) дзеяння (прынцып Гамільтана) — сістэма рухаецца па траекторыі, якая адпавядае мінімальнаму дзеянню (хаця б у некаторым малой наваколлі мноства магчымых траекторый). Пад стацыянарнасцю падразумяваецца, што дзеянне не мяняецца ў першым парадку маласці пры бесканечна малым змяненні траекторыі, з замацаванымі пачатковай ${\displaystyle (q_{0},\;t_{0})}$  і канчатковай ${\displaystyle (q_{1},\;t_{1})}$  кропкамі. Прынцып Гамільтана запішацца ў выглядзе

${\displaystyle \delta S=0.}$ 

Любая такая траекторыя называецца прамым шляхам паміж дзвюма кропкамі. Усе астатнія шляхі называюцца вакольнымі.

Трэба быць асцярожным і памятаць, што з роўнасці нуля першай варыяцыі дзеяння вынікае толькі яго стацыянарнасць, але не мінімальнасць дзеяння. Лёгка заўважыць, што максімальнага значэння функцыянал дзеяння ў класічнай механіцы прымаць не можа, бо часціца можа прайсці той жа самы шлях з большай скорасцю, пры гэтым яе кінетычная энергія на ўсім шляху будзе большая, а патэнцыяльная энергія не зменіцца, гэта значыць дзеянне не абмежавана зверху (калі не накладваць абмежаванняў на скорасці). Аднак дзве кропкі могуць злучацца некалькімі шляхамі, на якіх дзеянне прымае стацыянарнае значэнне. Найпрасцейшы прыклад — свабодны рух кропкі па сферы, пры якім існуе бесканечна многа раўнапраўных спосабаў трапіць у дыяметральна процілеглы пункт. Магчымы больш складаныя выпадкі, калі кропкі злучаюцца некалькімі прамымі шляхамі, але значэнне дзеяння на іх рознае.

Кропка ${\displaystyle M_{2}}$  называецца спалучаным кінетычным фокусам для кропкі ${\displaystyle M_{1}}$ , калі праз ${\displaystyle M_{1}}$  і ${\displaystyle M_{2}}$  праходзіць некалькі прамых шляхоў.

У літаральным сэнсе прынцып найменшага дзеяння справядлівы толькі лакальна. А менавіта, мае месца тэарэма Бабылёва: дзеянне ўздоўж прамога шляху ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$  мае найменшае значэнне ў параўнанні з вакольнымі шляхамі, калі на дузе ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$  няма спалучанага для ${\displaystyle M_{1}}$  кінетычнага фокуса.

З прынцыпу Гамільтана, у адпаведнасці з варыяцыйным злічэннем, атрымліваюцца ўраўненні Эйлера-Лагранжа:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0.}$ 

Калі ўвесці абазначэнні

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$  — абагульненыя імпульсы,
${\displaystyle F={\frac {\partial L}{\partial q}}}$  — абагульненыя сілы,

то ўраўненні Эйлера-Лагранжа прымуць выгляд

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=F,}$ 

гэта значыць, форму абагульненага другога закона Ньютана.

Лагранжыян сістэмы вызначаецца з дакладнасцю да поўнай вытворнай па часе ад адвольнай функцыі каардынат і часу. Даданне такой функцыі ў лагранжыян не ўплывае на выгляд ураўненняў руху.

Лагранжыян у неінерцыяльных сістэмах адліку

Прынцыпова важная асаблівасць лагранжыяна — адытыўнасць для неўзаемадзеючых сістэм — лагранжыян сукупнасці неўзаемадзеючых сістэм роўны суме іх лагранжыянаў. Іншы важны прынцып класічнай механікі — прынцып адноснасці Галілея — аднолькавасць законаў у розных інерцыяльных сістэмах. Акрамя гэтага выкарыстоўваюцца агульныя дапушчэнні аднароднасці і ізатропнасці прасторы і часу. Гэтыя прынцыпы азначаюць інварыянтнасць (з дакладнасцю да названай нявызначанасці) лагранжыяна адносна тых ці іншых пераўтварэнняў.

У прыватнасці, для сістэмы, якая свабодна рухаецца, (матэрыяльнага пункта) у інерцыяльнай сістэме з прынцыпаў аднароднасці прасторы і часу вынікае, што лагранжыян павінен быць функцыяй толькі скорасці. Ізатропнасць прасторы азначае, што лагранжыян залежыць толькі ад абсалютнай велічыні скорасці, а не ад напрамку, то-бок фактычна ${\displaystyle L=L(v^{2})}$ . Далей скарыстаемся прынцыпам адноснасці. Варыяцыя лагранжыяна роўная ${\displaystyle \delta L={\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}v\delta v}$ . Гэтая варыяцыя будзе поўнай вытворнай па часе, толькі калі ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}=\mathrm {const} }$ , адкуль атрымліваем, што лагранжыян прама прапарцыянальны квадрату скорасці ${\displaystyle L={\frac {m}{2}}v^{2}}$ .

Параметр ${\displaystyle m}$  гэта, як можна паказаць з ураўненняў руху, — маса часціцы, а лагранжыян па сутнасці роўны кінетычнай энергіі.

З ураўненняў руху вынікае тады, што вытворная лагранжыяна па скорасці з’яўляецца пастаяннай велічынёй. Але гэтая вытворная роўная ${\displaystyle mv}$ , зыходзячы з выгляду лагранжыяна. Такім чынам, вектар скорасці часціцы, якая свабодна рухаецца ў інерцыяльнай сістэме, з’яўляецца пастаяннай (першы закон Ньютана).

З адытыўнасці лагранжыяна вынікае, што для сістэмы неўзаемадзеючых часціц лагранжыян будзе роўны

${\displaystyle L=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}.}$ 

У выпадку замкнёнай сістэмы ўзаемадзейных часціц да гэтага лагранжыяна трэба дадаць функцыю каардынат (а часам і скарасцей), якая залежыць ад характару ўзаемадзеяння

${\displaystyle L=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}-U(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}).}$ 

Аналагічны выгляд мае лагранжыян адкрытай сістэмы ў знешнім полі. У гэтым выпадку функцыі каардынат і скарасцей поля лічацца зададзенымі, таму кінетычную частку лагранжыяна поля можна не ўлічваць, як функцыю толькі часу. Таму лагранжыян вялікай сістэмы (якая ўключае вонкавае поле) апісваецца лагранжыянам дадзенай сістэмы плюс функцыя поля ад каардынат і скарасцей сістэмы, а таксама, магчыма часу.

Для адной часціцы ў вонкавым поле лагранжыян будзе роўны

${\displaystyle L=mv^{2}/2+U(r,t).}$ 

Адсюль няцяжка вывесці ўраўненні руху

${\displaystyle m{\dot {v}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}=F.}$ 

Гэта другі закон Ньютана.

Законы захавання (інтэгралы руху)

Аднароднасць і ізатропнасць прасторы і часу прыводзяць да найбольш часта выкарыстоўваных законаў захавання — т.зв. адытыўных інтэгралаў руху.

Закон захавання энергіі

З аднароднасці часу вынікае, што лагранжыян не залежыць ад часу непасрэдна, такім чынам

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\ddot {q_{i}}}.}$ 

Выкарыстоўваючы ўраўненні Эйлера-Лагранжа, адсюль атрымліваем

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q_{i}}}+\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\ddot {q_{i}}}=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q_{i}}}\right).}$ 

Адсюль

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L\right)=0.}$ 

Такім чынам, велічыня

${\displaystyle E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L,}$ 

якая называецца энергіяй сістэмы, не змяняецца з часам. Гэта закон захавання энергіі.

Улічваючы выгляд лагранжыяна для замкнёнай або для сістэмы, якая знаходзіцца ў вонкавым полі,

${\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q),}$ 

дзе ${\displaystyle T(q,{\dot {q}})}$  — аднародная квадратычная функцыя скарасцей, то зыходзячы з тэарэмы Эйлера аб аднародных функцыях, атрымліваем

${\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U.}$ 

Такім чынам, энергія сістэмы складаецца з дзвюх кампанент — кінетычнай энергіі і патэнцыяльнай.

Закон захавання імпульсу

Аднароднасць прасторы азначае інварыянтнасць лагранжыяна адносна паралельных пераносаў. Маем для варыяцыі лагранжыяна

${\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} _{i}=0.}$ 

Паколькі ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$  — любая, то маем

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=0.}$ 

Дадзеныя суадносіны з улікам уведзенага паняцця абагульненай сілы азначаюць, што вектарная сума сіл роўная нулю (у прыватным выпадку двух цел — дзеянне роўна процідзеянню — трэці закон Ньютана).

Падставіўшы гэту роўнасць ва ўраўненні Эйлера-Лагранжа, атрымаем

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0.}$ 

Такім чынам, выраз у дужках

${\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}}$ 

з’яўляецца вектарнай велічынёй, якая называецца імпульсам, і захоўваецца ў часе. Гэта закон захавання імпульсу.

Закон захавання імпульсу сістэмы часціц можа быць сфармуляваны як раўнамернасць і прамалінейнасць руху цэнтра цяжару сістэмы.

Закон захавання моманту імпульсу

Ізатропнасць прасторы азначае інварыянтнасць лагранжыяна замкнёнай механічнай сістэмы адносна паваротаў. Калі вызначыць па правілу шрубы вектар бесканечна малога павароту ${\displaystyle \delta \mathbf {\phi } }$ , то змены радыус-вектара і вектара скорасці будуць роўныя вектарнаму здабытку вектара павароту на радыус-вектар або вектар скорасці адпаведна:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]}$ , ${\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ].}$ 

Нязменнасць лагранжыяна азначае, што

${\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i})=0.}$ 

Падстаўляючы сюды выразы для змен радыус-вектара і вектара скорасці, атрымліваем:

${\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0.}$ 

Улічваючы адвольнасць вектара павароту, канчаткова можна запісаць

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0.}$ 

Гэта значыць, што вектарная велічыня

${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}$ 

захоўваецца. Гэтая велічыня і называецца момантам імпульсу ці проста момантам.

Базавы пастулат тэорыі адноснасці — пастаянства скорасці святла ва ўсіх інерцыяльных сістэмах прыводзіць да інварыянтнай велічыні, якая называецца інтэрвалам s і з’яўляецца спецыфічнай метрыкай у чатырохмернай прасторы-часе:

${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-\mathbf {x} ^{2}.}$ 

Для сістэмы, якая адвольна (гэта значыць не абавязкова раўнамерна і прамалінейна) рухаецца, можна разгледзець бесканечна малыя прамежкі часу, на працягу якіх рух можна лічыць раўнамерным. Хай за прамежак часу ${\displaystyle dt}$  па нерухомаму гадзінніку аб’ект праходзіць адлегласць dx. Тады для інтэрвалу маем выраз

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}dt^{2}(1-dx^{2}/c^{2}dt^{2})=c^{2}dt^{2}(1-v^{2}/c^{2}).}$ 

Такім чынам,

${\displaystyle ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$ 

Інтэгруючы, атрымліваем

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$ 

Такім чынам, калі прыняць лагранжыян рэлятывісцкай часціцы прапарцыянальным падынтэгральнай функцыі ад скорасці, то паказаны інтэграл будзе інварыянтным адносна інерцыяльных сістэм дзеяннем.

З меркаванняў супадзення з класічнай механікай пры малых скарасцях лагранжыян свабоднай рэлятывісцкай часціцы ў інерцыяльнай сістэме ў канчатковым выніку роўны

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$ 

Адпаведна, рэлятывісцкі імпульс роўны

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$ 

рэлятывісцкая энергія роўная

${\displaystyle E=\mathbf {pv} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$ 

Відаць, што нават пры нулявой скорасці часціца валодае энергіяй (у адрозненне ад класічнай механікі), якую называюць энергіяй спакою.

Адсюль нескладана атрымаць рэлятывісцкія суадносіны паміж энергіяй і імпульсам

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}.}$ 

У тэорыі поля сума лагранжыянаў часціц механічнай сістэмы замяняецца інтэгралам па некаторым аб’ёме прасторы ад так званай лагранжавай шчыльнасці (у тэорыі поля лагранжаву шчыльнасць іншы раз і называюць лагранжыянам):

${\displaystyle L=\int _{V}{\mathcal {L}}\,d^{3}\!r.}$ 

Адпаведна дзеянне роўнае

${\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t}\int _{V}{\mathcal {L}}\,d^{3}\!r\,dt=\int _{X}{\mathcal {L}}\,d^{4}\!x,}$ 

дзе ў апошняй формуле інтэграванне праводзіцца па чатырохмернай прасторы-часе.

Мяркуецца, што лагранжава шчыльнасць не залежыць непасрэдна ад каардынат, а залежыць ад палявой функцыі і яе першых вытворных. Ураўненні Эйлера-Лагранжа ў дадзеным выпадку маюць выгляд:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{a}(x)}}-\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }u_{a}(x))}}\right)=0.}$ 

Гамільтаніян, які абазначаюць ${\displaystyle \mathbf {H} }$ , атрымліваецца пры выкананні пераўтварэнняў Лежандра над функцыяй Лагранжа. Гамільтаніян — аснова для альтэрнатыўнай фармулёўкі класічнай механікі, вядомай як гамільтанава механіка. Гэтая функцыя асабліва распаўсюджана ў квантавай механіцы.

У 1948 годзе Фейнман вынайшаў фармулёўку з прыцягненнем інтэгралаў па траекторыях і распаўсюдзіў прынцып найменшага дзеяння на квантавую механіку. У гэтай фармулёўцы часціцы падарожнічаюць па ўсіх магчымых траекторыях паміж пачатковым і канчатковым станамі; імавернасць пэўнага канчатковага стану вылічаецца сумай (інтэграваннем) па ўсіх магчымых траекторыях, якія прыводзяць да яго. У класічным выпадку фармулёўка інтэграла па траекторыях цалкам паўтарае прынцып Гамільтана.