0,999...

Bu eşitliğin ispatları:

Devirli Ondalık Sayılardan

Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;

${\displaystyle {\frac {5}{9}}=0{,}{\bar {5}}}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}{\bar {3}}}$  gibi. Eğer ikinci eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpacak olursak

${\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0{,}{\bar {3}}}$ 

${\displaystyle 1=0{,}{\bar {9}}}$  elde ederiz.

Dört İşlemden

0,9 sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.

${\displaystyle x=0{,}{\bar {9}}}$ 

Her iki tarafı 10 ile çarpalım.

${\displaystyle 10x=9{,}{\bar {9}}}$ 

Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım

${\displaystyle 9x=10x-x=9{,}{\bar {9}}-0{,}{\bar {9}}=9}$ 

Sadeleştirelim.

${\displaystyle x=1{\underline {}}}$ 

Limitten

Sayımızı limit dilinde ifade edelim:

${\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =\lim _{n\to \infty }0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}$ 

n sonsuza giderken ${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}$  ifadesi 0'a eşittir. Dolayısıyla;

${\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}$  dir.

Sonsuz Serilerden

Teorem:${\displaystyle |r|<1}$  ve a sabit sayı olmak üzere ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}$  dir.

Genel terimi ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$  ve sabit sayısı 9 olan seri 0, (9)dur. Teorimizi sayımıza uygularsak

${\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,}$  olduğunu görebiliriz.

• Why does 0.9999… = 1 ? (İng. neden 0.(9)=1 ?13 Kasım 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.