0,999...

Esta dízima periódica é um numero que representa o menor número não menor que todos os números da sequência ${\displaystyle (0.9,0.99,0.999,\ldots )}$; Isto é, o supremo desta sequência. Este número é igual a 1. Noutras palavras, "0,999..." não é "quase exatamente 1" nem "muito, muito próximo, mas não exatamente 1"; em vez disso, "0,999..." representam exatamente o mesmo número.

Há diversas maneiras de mostrar esta igualdade, desde argumentos intuitivos até provas matematicamente rigorosas. A técnica utilizada depende no público alvo, suposições básicas, contexto histórico e desenvolvimento preferido dos números reais, conjunto que que 0,999... é geralmente definido.

De forma geral, todo decimal finito tem duas representações iguais (por exemplo, 8,32 e 8,31999...), que é uma propriedade de todos as representações no sistema numérico posicional, independente da base. A preferência utilitária pela representação decimal final contribui para o equívoco de que esta é a única representação. Por esta e outras razões – como provas rigorosas que se baseiam em técnicas, propriedades ou disciplinas não elementares – algumas pessoas podem achar a igualdade suficientemente contra-intuitiva a ponto de a questionarem ou rejeitarem. Este tem sido objeto de vários estudos em educação matemática.

 

Nas últimas décadas, os pesquisadores de educação matemática têm estudado a receptividade dessas relações de igualdade entre os estudantes. Com efeito, muitas dúvidas e, mesmo, francas rejeições à validade dessa identidade apresentaram-se. Embora muitos sejam convencidos sumariamente apenas pela autoridade emanada dos livros didáticos, dos professores de matemática, ou, até mesmo, dos raciocínios aritméticos como abaixo expostos, no sentido de aceitar, em princípio, que esses dois números são indubitavelmente iguais, todavia, essa questão tem natureza matemática mais rica e requer exame mais profundo. O raciocínio dos estudantes, seja para aceitar ou para rejeitar essa identidade, usualmente baseia-se na sua intuição imediata e primária sobre os números reais. Como exemplos: (1) cada número real tem uma única representação; (2) números reais não-nulos infinitesimais devem existir; ou ainda (3) a expansão de 0,999… , eventualmente, termina. Contudo, as intuições falham no domínio do conjunto dos números reais, embora sistemas numéricos alternativos possam ser construídos sobre ele. Ademais, várias outras representações que são também "imagem de 1" são de considerável interesse na análise matemática podem ser estabelecidas em moldes semelhantes.

A não singularidade das tais expansões não é exclusiva dos sistemas decimais. De fa(c)to, esse fenômeno ocorre também noutras bases inteiras que não 10, e, assim, os matemáticos têm estabelecido as formas de escrever 1 em bases não-inteiras. Tampouco esse fenômeno é exclusivo do número um (1): todo número não-nulo com uma notação decimal finita (ou, equivalentemente, infinitos dígitos "0" à direita) tem uma contrapartida com infinitos "9" à direita. Por exemplo 0,24999… é igual a 0,25, exatamente como no caso especial considerado. Esses são os números racionais e constituem um conjunto numérico denso.

Por razões de óbvia simplicidade apenas, a representação decimal terminativa é quase sempre a preferida, contribuindo ainda mais para o equívoco de que seja necessariamente a única representação válida. Doutro lado, em certas aplicações, dá-se precisamente o contrário: a representação decimal não-terminada mostra-se mais conveniente para a compreensão da expansão decimal de certas frações, e, na base três, por exemplo, para o correto entendimento do conjunto ternário de Cantor, fractal simples. Essa forma não-única de representação tem também utilidade na demonstração clássica da "incontabilidade da plenitude dos números reais". De modo geral, qualquer sistema posicional de representação para os números reais contém em si infinitos números com múltiplas representações.

0,999… é um número escrito no sistema numeral decimal, e há várias provas suficientes de que 0,999… = 1 invocadas na propriedade de conveniência aritmética deste sistema. A propriedade da aritmética decimal — adição, subtração, multiplicação, divisão, e comparação — usa manipulações nos dígitos que são muito idênticos aos inteiros. Tal como acontece com inteiros, duas casas decimais finitas com diferentes números significam números diferentes (ignorando os zeros). Em particular, qualquer número da forma 0,99…9, onde o 9 eventualmente para, é estritamente inferior a 1.

Essas são muitas provas que 0,999… = 1. Depois de demonstrados usando métodos algébricos, considerando que dois números reais são idênticos e somente a diferença deles é igual a zero. Alguns valores deram positivo, a diferença entre 1 e 0,999… é o mesmo que o valor (no qual pode ser formada demonstrando o uso de um intervalo fechado definido pela sequência acima e no triângulo escaleno. Assim, a diferença é de 0 e os números são idênticos. Isso explica também 0.333… = ¹⁄₃, 0.111… = ¹⁄₉, etc..

Demonstração formal

${\displaystyle 1/9=0,111\dots }$ 

${\displaystyle 2/9=0,222\dots }$ 

${\displaystyle 3/9=0,333\dots }$ 

${\displaystyle 4/9=0,444\dots }$ 

${\displaystyle 5/9=0,555\dots }$ 

${\displaystyle 6/9=0,666\dots }$ 

${\displaystyle 7/9=0,777\dots }$ 

${\displaystyle 8/9=0,888\dots }$ 

${\displaystyle 9/9=0,999\dots }$ 

Seja ${\displaystyle q}$  um número real qualquer e considere-se a soma

${\displaystyle S_{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}}$ 

multiplicando a soma pelo número ${\displaystyle q}$  obtemos

${\displaystyle q\,S_{n}=q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots +q^{n}+q^{n+1}}$ 

assim,

${\displaystyle 1+q\,S_{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots +q^{n}+q^{n+1}=S_{n}+q^{n+1}}$ 

de modo que

${\displaystyle 1+q\,S_{n}=S_{n}+q^{n+1}}$ 

Subtraindo ${\displaystyle 1+S_{n}}$  em ambos os lados da equação, obtém-se

${\displaystyle q\,S_{n}-S_{n}=q^{n+1}-1}$ 

Se ${\displaystyle q}$  é distinto de um, então

${\displaystyle S_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\,}$ 

Definição de 0,999…

Pode-se escrever

${\displaystyle 0,999\cdots =0,9+0,09+0,009+\cdots }$ ]
Também se pode considerá-lo a subtração de um número infinitamente pequeno do número um:

0,999… = 1 - 10-∞ 

como uma série geométrica (de primeiro termo a = 0,9 e razão q = 1/10):

${\displaystyle 0,999\ldots =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {0,9}{10^{k}}}={\frac {9}{10}}\,\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{10^{k}}}\,}$ 

Limite da série

A primeira prova formal da identidade 0,999… ≡ 1 foi apresentada por Leonhard Euler em 1770, ao provar que 10 ≡ 9,999…, com o mesmo valor.

Pelo acima exposto,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{10^{k}}}={\frac {1-1/10^{n+1}}{1-1/10}}={\frac {1-1/10^{n+1}}{9/10}}={\frac {10}{9}}\,(1-{\frac {1}{10^{n+1}}})}$ 

Ao tomar o limite, tem-se

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {10}{9}}\,(1-{\frac {1}{10^{n+1}}})={\frac {10}{9}}\,\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{10^{n+1}}})={\frac {10}{9}}\cdot 1}$ 

Assim, finalmente,

${\displaystyle 0,999\cdots ={\frac {9}{10}}\,\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{10^{k}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {10}{9}}=1}$ 

como se queria demonstrar.

Multiplicação de 1/3

• Dizemos que 1/3 = 0,333…
• Multiplicam-se por 3 ambos os membros: 3 × (1/3) = 3 × 0,333…, que deveria dar 0,999…
• Vê-se que 0,999… deve ser fortemente 1, pois, que (1 / 3) × 3 = 1.

Com x = 0,999…

• Suponha-se que x = 0,999… [1]
• Multiplicam-se por 10 os dois números: 10x = 9,999… [2]
• Subtraem-se as duas expressões nos dois membros: 10 x - x = 9,999… - 0,999… [2] – [1]
• Obtém-se assim: 9x = 9, é dito, x = 1, como se queria demonstrar.

Com indução simples

• Se ${\displaystyle x}$  é um número inteiro entre 0 e 9, pode-se considerar a seguinte fórmula

${\displaystyle 0,xxx\ldots ={\frac {x}{9}}}$ 

• Toma-se o valor numérico de "x" como "9"
• Chega-se à conclusão de que:

${\displaystyle 0,999\ldots ={\frac {9}{9}}}$ 

Número real entre 0,999… e 1

Seja a seguinte proposição lógica matemática: Se dois números reais são diferentes, então existe pelo menos um terceiro entre os dois, diferente de estes. Este terceiro número pode ser, por exemplo (mas não necessariamente, nem univocamente), a média aritmética dos dois. Considerando que não é possível intercalar algum número real entre 0,999… e 1, logo, eles devem ou precisam ser iguais.

Progressão geométrica

Considere-se a progressão geométrica de termo inicial 0,9 e razão 0,1. Assim, tem-se:

${\displaystyle a_{1}=0,9}$ 

${\displaystyle a_{2}=0,09}$ 

${\displaystyle a_{3}=0,009}$ 

E as somas parciais:

${\displaystyle S_{1}=0,9}$ 

${\displaystyle S_{2}=0,99}$ 

${\displaystyle S_{3}=0,999}$ 

 

Portanto, imagina-se (corretamente) que 0,999… (com reticências) seja igual à soma infinita desta progressão geométrica. Assim, tem-se:

${\displaystyle 0,999\ldots ={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {0,9}{1-0,1}}={\frac {0,9}{0,9}}}$ 

ou seja:

${\displaystyle 0,999\ldots =1}$ 

A prova de que ${\displaystyle 0,9999\ldots }$  em base 10 é exatamente 1 pode ser generalizada para qualquer base não necessariamente 10.

Em base ${\displaystyle n+1}$  o número ${\displaystyle 0,nnnnnnn\ldots }$  é exatamente 1.

Pode-se verificar que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a^{k}={\frac {a^{m+1}-a}{a-1}}}$ 

Então:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0.nnn\ldots &=&n\left(n+1\right)^{-1}+n\left(n+1\right)^{-2}+n\left(n+1\right)^{-3}+\cdots \\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}n\left(m+1\right)^{-k}\\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }n\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{m+1}}\right)^{k}\\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }n{\frac {\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{m+1}-\left({\frac {1}{n+1}}\right)}{\left({\frac {1}{n+1}}\right)-1}}\\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{\left(n+1\right)^{m}}}\\&=&1\end{array}}}$ 

É decidir que no binário ${\displaystyle 0,111\ldots =1}$ , no octal ${\displaystyle 0,777\ldots =1}$ , e no sistema decimal ${\displaystyle 0,999\ldots =1}$ , etc.

De modo similar ao raciocínio baseado em argumentos algébrico-analíticos, várias provas geométricas têm sido sugeridas para a identidade 0,999… = 1. Uma delas é exibida na imagem a seguir:

 

• Dízima periódica
• Frações parciais
• Infinito
• Número decimal
• Representação decimal
• Série (matemática)
• Um