Shpërndarja Pareto

Parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 80% e rezultateve janë për shkak të 20% të shkaqeve u emërtua për nder të Paretos, por konceptet janë të dallueshme dhe vetëm shpërndarjet Pareto me vlerë të formës ( ${\displaystyle \alpha }$ ) rreth ₄ 5 ≈ 1.16 pasqyrojnë saktësisht atë. Vëzhgimi empirik ka treguar se kjo shpërndarje 80-20 përshtatet me një gamë të gjerë rastesh, duke përfshirë fenomenet natyrore dhe aktivitetet njerëzore.

Pareto Type I

Probability density function FDP Pareto për ${\displaystyle \alpha }$ të ndryshme me ${\displaystyle x_{\mathrm {m} }=1.}$ Kur ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty ,}$ shpërndarja i përafrohet ${\displaystyle \delta (x-x_{\mathrm {m} }),}$ ku ${\displaystyle \delta }$ është funksioni delta i Dirakut.
Cumulative distribution function FMSH Pareto për ${\displaystyle \alpha }$ të ndryshme me ${\displaystyle x_{\mathrm {m} }=1.}$
Parametrat	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0}$ Parametri i shkallës (real) ${\displaystyle \alpha >0}$ Parametri i formës (real)
Mbështetës	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} },\infty )}$
FDGJ	${\displaystyle {\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}}$
FGSH	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }}$
Kuantili	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{(1-p)}^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$
Vlera e pritur	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{për }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{për }}\alpha >1\end{cases}}}$
Mediana	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}$
Moda	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }}$
Varianca	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{për }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{për }}\alpha >2\end{cases}}}$
Shtrirja	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ për }}\alpha >3}$
Kurtoza e tepërt	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ për }}\alpha >4}$
Entropia	${\displaystyle \log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)}$
FGJM	nuk ekziston
FK	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)}$
Informacione për Fisher	${\displaystyle {\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}\\-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}}$ Right: ${\displaystyle {\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha ^{2}}{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&0\\0&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}}$

Nëse ${\displaystyle X}$  është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Pareto, atëherë probabiliteti që ${\displaystyle X}$  është më i madh se një numër ${\displaystyle x}$ , pra funksioni i mbijetesës (i quajtur edhe funksioni i bishtit), jepet nga

${\displaystyle {\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x$ 

ku ${\displaystyle x_{m}}$  është vlera minimale e mundshme (domosdoshmërisht pozitive) e ${\displaystyle X}$ , dhe ${\displaystyle \alpha }$  është një parametër pozitiv. Shpërndarja Pareto Lloji I karakterizohet nga një parametër i shkallës ${\displaystyle x_{m}}$  dhe një parametër i formës ${\displaystyle \alpha }$ , i cili njihet si indeksi i bishtit . Kur kjo shpërndarje përdoret për të modeluar shpërndarjen e pasurisë, atëherë parametri ${\displaystyle \alpha }$  quhet indeksi Pareto .

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Nga përkufizimi, funksioni mbledhës i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit Pareto me parametra ${\displaystyle \alpha }$  dhe ${\displaystyle x_{m}}$  është

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x$ 

Funksioni i densitetit të probabilitetit

Nga kjo rrjedh (me diferencim ) se funksioni i dendësisë së probabilitetit është

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x$ 

Momentet dhe funksioni karakteristik

• Pritja matematike e një ndryshoreje rasti që ndjek një shpërndarje Pareto është

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$ 

• Varianca e një ndryshoreje të rastit që ndjek një shpërndarje Pareto është

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$ 

(Nëse ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ , varianca nuk ekziston. )

• Momentet e papërpunuara janë

${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}}$ 

• Funksioni gjenerues i momentit përcaktohet vetëm për vlerat jo pozitive ${\displaystyle t\leq 0}$  si

${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$ 
${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$ 

• Funksioni karakteristik jepet nga

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$ 

ku ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$  është funksioni i paplotë gama .

Mesatarja harmonike

Mesatarja harmonike ( H ) është

${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$ 

Lidhja me shpërndarjen eksponenciale

Shpërndarja Pareto lidhet me shpërndarjen eksponenciale si më poshtë. Nëse X është Pareto-shpërndarë me minimum x _m dhe indeks α, atëherë

${\displaystyle Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)}$ 

shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin e shakllës  α . Në mënyrë ekuivalente, nëse Y shpërndahet në mënyrë eksponenciale me shpejtësi α, atëherë

${\displaystyle x_{\mathrm {m} }e^{Y}}$ 

është Pareto-shpërndarë me minimum x _m dhe indeks α .

Më në përgjithësi, nëse ${\displaystyle \lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$  (parametizimi i shkallës së formës) dhe ${\displaystyle \eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ , atëherë ${\displaystyle \beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )}$  .

Lidhja me shpërndarjen log-normale

Shpërndarja Pareto dhe shpërndarja log-normale janë shpërndarje alternative për përshkrimin e madhësive të së njëjtit lloj. Një nga lidhjet ndërmjet të dyjave është se ato janë të dyja shpërndarjet e eksponencialit të ndryshoreve të rastit të shpërndara sipas shpërndarjeve të tjera të zakonshme, përkatësisht shpërndarjes eksponenciale dhe shpërndarjes normale . (Shih seksionin e mëparshëm . )

Vlerësimi i parametrave

Funksioni i përgjasisë për parametrat e shpërndarjes Pareto α dhe x _m, duke pasur parasysh një mostër të pavarur ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ , është

${\displaystyle L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.}$ 

Prandaj, funksioni logaritmik të përgjasisë është

${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.}$ 

Mund të shihet se ${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })}$  është në rritje monotonike me ${\displaystyle x_{m}}$ , pra sa më e madhe të jetë vlera e ${\displaystyle x_{m}}$ , aq më e madhe është vlera e funksionit të gjasave. Prandaj, meqenëse ${\displaystyle x\geq x_{m}}$ , arrijmë në përfundimin se

${\displaystyle {\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.}$ 

Për të gjetur vlerësuesin për α, ne llogarisim derivatin e pjesshëm përkatës dhe përcaktojmë se ku është zero:

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.}$ 

Kështu, vlerësuesi i përgjasisë maksimale për α është:

${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.}$ 

Gabimi statistikor i pritur është:

${\displaystyle \sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.}$ 

Të përgjithshme

Vilfredo Pareto fillimisht e përdori këtë shpërndarje për të përshkruar ndarjen e pasurisë midis individëve pasi dukej se tregonte mjaft mirë mënyrën se një pjesë më e madhe e pasurisë së çdo shoqërie zotërohet nga një përqindje më e vogël e njerëzve në atë shoqëri. Ai gjithashtu e përdori atë për të përshkruar shpërndarjen e të ardhurave. Kjo ide ndonjëherë shprehet më thjesht si parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 20% e popullsisë kontrollon 80% të pasurisë. Megjithatë, rregulli 80-20 korrespondon me një vlerë të veçantë të α, dhe në fakt, të dhënat e Paretos mbi tatimet britanike mbi të ardhurat në Cours d'économie politique tregojnë se rreth 30% e popullsisë kishte rreth 70% të të ardhurave.Grafiku i funksionit të dendësisë së probabilitetit (FDP) në fillim të këtij artikulli tregon se "probabiliteti" ose pjesa e popullsisë që zotëron një sasi të vogël pasurie për person është mjaft e lartë dhe më pas zvogëlohet në mënyrë të qëndrueshme me rritjen e pasurisë. (Sidoqoftë, shpërndarja Pareto nuk është realiste për pasurinë për pjesën e poshtme. Në fakt, vlera neto mund të jetë edhe negative. ) Kjo shpërndarje nuk kufizohet në përshkrimin e pasurisë ose të ardhurave, por në shumë situata në të cilat gjendet një baraspeshë në shpërndarjen e "të voglave" tek "të mëdhatë". Shembujt e mëposhtëm shihen ndonjëherë si të shpërndarë përafërsisht Pareto:

• Madhësitë e vendbanimeve njerëzore (pak qytete, shumë fshatra/fshatra)
• Shpërndarja e madhësisë së skedarit të trafikut të internetit që përdor protokollin TCP (shumë skedarë më të vegjël, pak më të mëdhenj)
• Shkalla e gabimit të diskut të ngurtë
• Grupet e kondensatës Bose-Einstein afër zeros absolute

• Vlerat e rezervave të naftës në fushat e naftës (disa fusha të mëdha, shumë fusha të vogla )
• Shpërndarja e gjatësisë në punët e caktuara për superkompjuterët (disa të mëdhenj, shumë të vegjël)
• Kthimet e standardizuara të çmimeve për aksionet individuale
• Madhësitë e grimcave të rërës
• Madhësia e meteoritëve
• Ashpërsia e humbjeve të mëdha të viktimave për linja të caktuara biznesi si përgjegjësia e përgjithshme, makina tregtare dhe kompensimi i punëtorëve.
• Sasia e kohës që një përdorues në Steam do të kalojë duke luajtur lojëra të ndryshme. (Disa lojëra luhen shumë, por shumica luhen pothuajse kurrë.) [1] 
• Në B^{[ hulumtim origjinal?}esueshmërinë e Shpërndarjes së Ndërmarrjeve Elektrike (80% e minutave të ndërprera të klientit ndodhin në afërsisht 20% të ditëve në një vit të caktuar).