ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ

ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ (ଈଂରାଜୀରେ Pauli Exclusion Principle) ଅନୁସାରେ ଦୁଇଟି କଣିକା ଉଷ୍ମାଗତିକ ସନ୍ତୁଳନରେ ରହିଥିଲା ବେଳେ ସେମାନଙ୍କ ସମସ୍ତ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ଦୁଇଟି କଣିକାର ତିନୋଟି ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଏକା ହୋଇପାରେ କିନ୍ତୁ ସେମାନଙ୍କ ଚତୁର୍ଥ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଅଲଗା ହେବେ । ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁସରଣ କରୁନଥିବା କଣିକାମାନଙ୍କ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥା ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ମାଧ୍ୟମରେ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।  ଏପରି କଣିକାମାନଙ୍କର ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଆବର୍ତ୍ତନର ମାପ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ ଓ ଏମାନଙ୍କୁ “ବୋଜୋନ୍” ବା "ବୋଷନ୍" କୁହାଯାଏ ।

ନିମ୍ନ ତାପମାତ୍ରାରେ ବୋଜୋନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ପ୍ରକୃତି ଫର୍ମିୟନଠାରୁ ଭିନ୍ନ । ଫର୍ମିୟନ୍ ସାଧାରଣତଃ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଅନୁସରଣ କରନ୍ତି । ନିମ୍ନ ତାପମାତ୍ରାରେ ଅସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ବୋଜୋନ୍ ଘନୀଭୂତ ହୋଇ ସମାନ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥାରେ ରହିପାରନ୍ତି । ଏପରି ବିଶେଷ ପ୍ରକୃତିବିଶିଷ୍ଟ ପଦାର୍ଥମାନଙ୍କୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନପଦାର୍ଥ (ଈଂରାଜୀରେ Bose–Einstein Condensate) ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।  ପ୍ରମାତ୍ରିକ ପ୍ରଭାବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଦରକାରୀ ହେଲେ ଓ କଣିକାମାନେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଭିନ୍ନ ମନେହେଲେ, ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଉପଯୋଗ କରାଯାଏ । କଣିକାମାନଙ୍କର ଘନୀକରଣ ଯୋଗୁଁ ନିମ୍ନ ପ୍ରଦତ୍ତ ଅବସ୍ଥା ସୃଷ୍ଟି ହେଲେ ପ୍ରମାତ୍ର ପ୍ରଭାବ ଦେଖାଯାଏ ।

${\displaystyle {\frac {N}{V}}\geq n_{q},}$ 

ଏଠାରେ N ହେଉଛି କଣିକାମାନଙ୍କର ସର୍ବମୋଟ ସଂଖ୍ୟା, V ହେଉଛି ଘନଫଳ ଓ n_q ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ (Quantum Concentration) । କଣିକାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ତାପୀୟ ଡି ବ୍ରୋଗଲି ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ (ଈଂରାଜୀରେ Thermal de Broglie Wavelength) ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କ ତରଙ୍ଗଫଳ ପରସ୍ପର ଉପରେ ଅଧିବ୍ୟାପ୍ତ ହୁଅନ୍ତି ନାହିଁ ଓ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ ପ୍ରଭାବ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ।

ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁସରଣ କରୁଥିବା ଫର୍ମିୟନ୍ କଣିକାମାନ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ମଧ୍ୟ ସମର୍ଥନ କରନ୍ତି । ବୋଷ୍-ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବୋଜୋନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ । ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ ତାପମାତ୍ରା ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ । ଅଧିକ ଘନତ୍ୱବିଶିଷ୍ଟ ଶ୍ୱେତ ବାମନ ନକ୍ଷତ୍ର ବ୍ୟତୀତ ଉଚ୍ଚ ତାପମାତ୍ରାରେ ପାରମ୍ପରିକ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ସୀମା ମଧ୍ୟରେ ରହିଥାନ୍ତି । ଫର୍ମି- ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଉଚ୍ଚ ତାପମାତ୍ରା ବା କମ୍ ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣରେ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ପରିଣତ ହୁଅନ୍ତି ।

୧୯୨୪ ମସିହାରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷ୍ ଫୋଟୋନ୍ମାନଙ୍କ ପାଇଁ ଏହି ପରିସଂଖ୍ୟାନ ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ । ୧୯୨୪-୨୫ ମସିହାରେ ବୋଷଙ୍କ ସହିତ ଗବେଷଣା କରି ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରମାଣୁମାନଙ୍କ ପାଇଁ ସର୍ବ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ତଥ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କଲେ । ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟରେ କେତୋଟି କଣିକା ବୋଷ୍-ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଶକ୍ତି ସ୍ତର iରେ ରହିପାରିବେ ତାହା ନିମ୍ନ ସମୀକରଣରୁ ଜାଣିହେବ :

${\displaystyle n_{i}(\varepsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}}$ 

ଏହି ସମୀକରଣରେ ε_i > μ, i ଶକ୍ତିସ୍ତରରେ କେତୋଟି କଣିକା ରହିଛନ୍ତି ତାହାର ମାପ ହେଉଛି n_i, g_i ହେଉଛି i ସ୍ତରରେ ରହିଥିବା କଣିକାଙ୍କ ପାଇଁ କ୍ଷୟଶୀଳ ଶକ୍ତିସ୍ତର, ε_i ହେଲା iତମ ଅବସ୍ଥାର ଶକ୍ତି, μ ହେଉଛି ରାସାୟନିକ ବିଭବ, k ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଓ T ତାପମାତ୍ରାର ସୂଚକ ।

ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ କଣିକା ଶକ୍ତି ବିତରଣର ନିୟମର ମଧ୍ୟ ଏହା ସହିତ ତୁଳନୀୟ । କେତୋଟି ଫର୍ମିୟନ୍ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$  ଶକ୍ତିସ୍ତରରେ ରହିବେ ତାହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରୁ ଜାଣିହେବ ।

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}(\epsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}}$ 

${\displaystyle kT\gg \epsilon _{i}-\mu }$  ହେଲେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ହୋଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ରେଲେ-ଜିଅନ୍ସ୍ ନିୟମ (Rayleigh–Jeans Law)ରେ ରୂପାନ୍ତରିତ ହୁଏ ।

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}kT}{\varepsilon _{i}-\mu }}}$ 

ଢାକା ବିଶ୍ୱବିଦ୍ୟାଳୟରେ ବିକିରଣ ଓ ଅତିବାଇଗଣୀ ବିନାଶ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟାନ ଦେଉଥିବା ବେଳେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷ ସେହି ସମୟର ପ୍ରଚଳିତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତଗୁଡ଼ିକ ଏହି ପ୍ରଭାବ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବୈଜ୍ଞାନିକ ପରୀକ୍ଷଣକୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବେ ପ୍ରମାଣିତ କରୁନଥିବା କଥା ନିଜ ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସମ୍ମୁଖରେ ଉପସ୍ଥାପନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିଥିଲେ । ସେ ସମୟରେ ଢାକା ବା ବର୍ତ୍ତମାନର ବଙ୍ଗଳାଦେଶ ବ୍ରିଟିଶ୍ ଶାସନାଧୀନ ଭାରତର ଅଂଶ ଥିଲା । କିନ୍ତୁ ସେହିଦିନ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଉପଯୋଗ କରି ଏହାର ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବା ବେଳେ ଏକ ଛୋଟ ଭୁଲ କରିବସିଲେ । କିନ୍ତୁ ପ୍ରୟୋଗ କରିଥିବା ସେହି ଭୁଲ ତଥ୍ୟ ଯୋଗୁଁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ହୋଇଗଲା । ଏହା ସମସାମୟିକ ପରୀକ୍ଷଣର ସମର୍ଥନ ମଧ୍ୟ କରୁଥିବାରୁ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ହୃଦବୋଧ କରିଥିଲେ ଯେ ତାଙ୍କର ଭୁଲ ମଧ୍ୟରେ ହିଁ ସମାଧାନର ବାଟ ରହିଛି । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ମନରେ ଧାରଣା ଜାଗ୍ରତ ହେଲା ଯେ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସମସ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ର କଣିକା ପାଇଁ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ କଣିକାର ଅବସ୍ଥିତି ଓ ସଂବେଗକୁ ଗୋଟିଏ ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ ଅଙ୍କ ବୋଲି ବିଚାର କରି ବିଭିନ୍ନ ଅବସ୍ଥାରେ ଏକ କଣିକାକୁ ପାଇବାର ସମ୍ଭାବନା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କଲେ ।

ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନିଜର ସିଦ୍ଧାନ୍ତକୁ ଏକ ଲେଖା ବା ନିବନ୍ଧ “ପ୍ଲାଂକଙ୍କ ନିୟମ ଓ ଆଲୋକ କ୍ୱାଣ୍ଟା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ତଥ୍ୟ” (Planck's Law and the Hypothesis of Light Quanta) ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ଇଛ୍ଛା କଲେ । ସେ ଏହି ଲେଖାକୁ ଫିଲୋସୋଫିକାଲ୍ ମ୍ୟାଗାଜିନକୁ ପଠାଇଲେ କିନ୍ତୁ ଏହି ଲେଖାଟି ପ୍ରକାଶକଙ୍କୁ ଆକର୍ଷିତ କରିପାରିଲା ନାହିଁ । ଏଥିରେ ବିଚଳିତ ନ ହୋଇ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନିଜ ଲେଖାଟିକୁ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନ ଜର୍ଣ୍ଣାଲ୍ (Zeitschrift für Physik)ରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ପାଇଁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଲିପିଟିକୁ ଆଲବର୍ଟ୍ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ପାଖକୁ ପଠାଇଥିଲେ । ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏଥିରେ ନିଜର ସହମତି ଦର୍ଶାଇ ଏହି ଲେଖାଟିକୁ ଈଂରାଜୀରୁ ଜର୍ମାନ୍ ଭାଷାରେ ଅନୁବାଦ କରିଥିଲେ । ଏହା ପୂର୍ବରୁ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ଦ୍ୱାରା ଲିଖିତ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକ ତତ୍ତ୍ୱକୁ ଜର୍ମାନରୁ ଈଂରାଜୀରେ ଅନୁବାଦ କରିଥିଲେ । ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏହି ଲେଖାର ପ୍ରକାଶ କରାଇଥିଲେ । ପରେ ନିଜର ବିଶ୍ଳେଷଣ ମଧ୍ୟ ଏଥିରେ ଯୋଡ଼ି ଏହାକୁ ସମୃଦ୍ଧ କରିଥିଲେ ଓ ଦୁହିଙ୍କ ଲେଖା ପ୍ରକାଶ କରାଇଥିଲେ । ୧୯୨୪ ମସିହାରେ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ସମର୍ଥନ ପରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ଲେଖାକୁ ଓ ଆବିଷ୍କାରକୁ ସମ୍ମାନ ମିଳିପାରିଲା ।

ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଉପରକୁ ଫିଙ୍ଗିଲେ ବା ଟସ୍ (Toss) କଲେ ଦୁଇଥର ମୁଣ୍ଡପଟ / ଚିତ୍ / ଚିତୁ (Head) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା କେତେ ? ପ୍ରଥମ ମୁଦ୍ରାର ମୁଣ୍ଡପଟ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ମୁଦ୍ରାର ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ମଧ୍ୟ ୧/୨ । ତେଣୁ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମୁଦାୟ ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ * ୧/୨ = ୧/୪ । ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପଣ କରି ତାହାର ଗୁଣନଫଳ ଗଣନା କରିବାର କାରଣ ହେଉଛି ଯେ ମୁଦ୍ରା ଦୁଇଟି ଏକ ନୁହଁନ୍ତି ; ସେମାନେ ଦୁହେଁ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଭିନ୍ନ । ସେହିଦିନ ଭାଷଣ ଦେବା ସମୟରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର କିନ୍ତୁ ଏକ ଛୋଟ ଭୁଲ କରିବସିଥିଲେ । ଯଦି ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ମୁଦ୍ରାର ସମ୍ଭାବନା ନଗଣି ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ କଣ ପଡ଼ିବ ତାହାକୁ ଗଣନା କରାଯାଏ ତେବେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ – ଦୁଇ ମୁଦ୍ରାରେ ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବା, ଦୁଇମୁଦ୍ରାରେ ଲାଞ୍ଜପଟ ପଡ଼ିବା ଓ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଲଗା ପଟ ପଡ଼ିବା । ତିନୋଟି ସମ୍ଭାବନା ହେତୁ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ ମୁଣ୍ଡପଟ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୩ । ଯଦି ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଯେକୌଣସି ପ୍ରକୃତିରେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଭିନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି ତେବେ ପ୍ରଥମ ଉପାୟ ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ଦର୍ଶାଇବ । କିନ୍ତୁ ଯଦି ମୁଦ୍ରାଦ୍ୱୟ କୌଣସି ପ୍ରକୃତିରେ ଭିନ୍ନ ନୁହଁନ୍ତି ତେବେ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ । ଏହି ଉଦାହରଣରେ ମୁଦ୍ରାଗୁଡ଼ିକୁ କଣିକାମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ବଦଳାଇ ଦିଆଯାଉ । ଫୋଟୋନ୍ ପରି କଣିକାମାନେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଭିନ୍ନ ନୁହଁନ୍ତି । ସମାନ ଶକ୍ତି ସ୍ତରରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ଫୋଟୋନ୍ ଦୁଇଟି “ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଫୋଟୋନ୍” ବୋଲି କହିହେବନାହିଁ । ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଗ୍ରହରେ ରହିଥିବା ଫୋଟୋନ୍ ଯଦି ଏକ ମୁଦ୍ରା ଓ ଆମ ପରୀକ୍ଷାଗାରରେ ସୃଷ୍ଟ ଫୋଟୋନ୍ ଯଦି ଅନ୍ୟ ଏକ ମୁଦ୍ରା, ତେବେ ପ୍ରକୃତରେ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୩ ହେବ । ପାରମ୍ପରିକ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ମୁଦ୍ରା ଚିନ୍ତାଧାରାରେ ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ ହେବ । ସେହି ଦିନ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ଏହି ଭୁଲ ପରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ବିକଶିତ ଓ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ହେଲା । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ଓ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏହି ଚିନ୍ତାକୁ ପରମାଣୁ ଉପରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଏହାର ପ୍ରଚାର ଓ ପ୍ରସାର କରାଇଥିଲେ । ୧୯୯୫ ମସିହାରେ ବୋଷନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ଏକତ୍ରୀକରଣରେ ପ୍ରସ୍ତୁତ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନପଦାର୍ଥ ବିଷୟରେ ପରୀକ୍ଷଣରୁ ଜଣା ପଡ଼ିଲା ।

ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲ

ପରସ୍ପର ଉପରେ ପ୍ରଭାବ ପକାଉନଥିବା ବୋଷନମାନଙ୍କ ପ୍ରମାତ୍ର ବ୍ୟବସ୍ଥାର ରୂପ ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣ (Bose–Einstein distribution) ଅତି ସହଜରେ ନିରୂପିତ ହୋଇପାରିବ । ଏଠାରେ ବିତରଣ ଶବ୍ଦଟି ଗାଣିତିକ ଅର୍ଥରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଛି । ଏହି ବ୍ୟବସ୍ଥାଟି T ତାପମାତ୍ରା ଓ µ ରାସାୟନିକ ବିଭବଯୁକ୍ତ ଏକ ଉତ୍ସ ସହିତ ଶକ୍ତି ଓ କଣିକା ବିନିମୟ କରିପାରେ । ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ପ୍ରଭାବହୀନ ଥିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କଣିକା (ଯାହାର ଶକ୍ତିସ୍ତର ϵ), ଉତ୍ସ ସହିତ ସଂଲଗ୍ନ ଏକ ଉଷ୍ମାଗତିଜ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପରି ମନେହୁଏ । କଣିକା ଦୃଷ୍ଟିକୋଣରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କଣିକା ନିଜେ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲ । ବୋଷନମାନଙ୍କ ପାଇଁ କଣିକାସଂଖ୍ୟା Nର କୌଣସି ସୀମା ନଥିବା ବେଳେ ଅଭିନ୍ନତା କାରଣରୁ ସର୍ବମୋଟ ଶକ୍ତିସ୍ତରକୁ Nϵ ବୋଲି ଅଭିହିତ କରାଯାଉ । ଗୋଟିଏ କଣିକାପାଇଁ ଏହି ଫଳନକୁ ଏକ ଜ୍ୟାମିତିକ ପ୍ରଗତି ଭଳି ଲେଖାଯାଇପାରିବ:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\sum _{N=0}^{\infty }\exp(N(\mu -\epsilon )/k_{B}T)=\sum _{N=0}^{\infty }[\exp((\mu -\epsilon )/k_{B}T)]^{N}\\&={\frac {1}{1-\exp((\mu -\epsilon )/k_{B}T)}}\end{aligned}}}$ 

ସେହି ଅବସ୍ଥା ପାଇଁ ହାରାହାରି କଣିକା ସଂଖ୍ୟା ହେଲା :

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{B}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp((\epsilon -\mu )/k_{B}T)-1}}}$ 

ଏହି ବିନ୍ୟାସ ସମସ୍ତ କଣିକାପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ଓ ଏହି ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣ ସମଗ୍ର ବ୍ୟବସ୍ଥାର ଅବସ୍ଥା ଦର୍ଶାଏ । ଉତ୍ତାପର ପରିବର୍ତ୍ତନ ଯୋଗୁଁ କଣିକା ସଂଖ୍ୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିହେବ :

${\displaystyle \langle (\Delta N)^{2}\rangle =k_{B}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N^{2}\rangle -\langle N\rangle ^{2}}$ 

ପରସ୍ପଠାରୁ ଭିନ୍ନ କଣିକାପାଇଁ କଣିକାସଂଖ୍ୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନର ମାତ୍ରା ଅଧିକ ଓ ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ରକୁ ପଇଜନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ (Poisson statistics) କୁହାଯାଏ ।

${\displaystyle \langle (\Delta N)^{2}\rangle =\langle N\rangle ^{2}}$ 

କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ପଦ୍ଧତି

କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ପଦ୍ଧତିର ବିନିଯୋଗରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ସୂତ୍ର ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିହେବ । ଏହି ପଦ୍ଧତି ଦୀର୍ଘତର ଏବଂ ଶେଷରେ ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲର ଗଣନା ସହିତ ସମାନ ହୁଏ । ଏକ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲରେ ବୋଷନମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସୀମିତ । ଡାରୱିନ୍-ଫାଉଲର୍, ମ୍ୟୁଲର୍-କିର୍ଷ୍ଟେନ୍, ଡିଂଗଲ୍ ଆଦିଙ୍କଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା ଗାଣିତିକ ବିଶ୍ଳେଷଣର ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ । ମନେ କରାଯାଉ ${\displaystyle \displaystyle i}$  ସଂଖ୍ୟକ ଶକ୍ତିସ୍ତର ରହିଛି, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶକ୍ତିସ୍ତରର ଶକ୍ତି ହେଲା ${\displaystyle \displaystyle \varepsilon _{i}}$  ଓ ସମୁଦାୟ ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ ଟି କଣିକା ରହିଛି । ମନେ କରାଯାଉ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତରରେ ${\displaystyle \displaystyle g_{i}}$  ଗୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପସ୍ତର ରହିଛି । ଏହି ସମସ୍ତ ଉପସ୍ତର ଶକ୍ତି ସମାନ ଓ ସେମାନେ ସହଜରେ ବାରି ହୋଇପାରିବେ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ସମାନ ଶକ୍ତିଥିବା ଦୁଇଟି କଣିକାର ସଂବେଗ ଭିନ୍ନ, ତେଣୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକୃତିରେ ଭିନ୍ନତା ଯୋଗୁଁ ସେମାନଙ୍କୁ ଆମେ ସହଜରେ ବାରି ପାରିବା । ${\displaystyle \displaystyle i}$  ସ୍ତରରେ ${\displaystyle \displaystyle g_{i}}$ ର ପରିମାଣକୁ ସେହି ସ୍ତରର କ୍ଷୟଶୀଳତା କୁହାଯାଉ । ଏକ ସମୟରେ ଅନେକ ବୋଷନ୍ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଉପସ୍ତରେ ରହିପାରିବେ । ପୁଣି, ମନେ କରାଯାଉ ଯେ ${\displaystyle \displaystyle n}$  କଣିକାକୁ ${\displaystyle \displaystyle g}$  ଉପସ୍ତରରେ   ପ୍ରକାର ଉପାୟରେ ବିତରଣ ବା ବିନ୍ୟାସ କରି ରଖାଯାଇପାରିବ । ${\displaystyle \displaystyle n}$  ଗୋଟି କଣିକାକୁ ଗୋଟିଏ ଉପସ୍ତରରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ପ୍ରକାରର ବିତରଣରେ ରଖାଯାଇପାରିବ ; ତେଣୁ ${\displaystyle \displaystyle w(n,1)=1}$  । ୨ଟି ଉପସ୍ତରରେ ${\displaystyle \displaystyle n}$ ଟି କଣିକାର ${\displaystyle \displaystyle (n+1)}$  ପ୍ରକାରର ବିତରଣ ${\displaystyle \displaystyle n}$ କୁ ନିମ୍ନ ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ :

${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}}$ 

୩ଟି ଉପସ୍ତରରେ ${\displaystyle \displaystyle n}$  କଣିକାର ଯେତୋଟି ଉପାୟରେ ବିତରଣ ହୋଇପାରିବ, ତାହା ହେଲା :

${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$ 

ଯେପରିକି

${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$ 

ଏଠାରେ ଦ୍ୱିପଦ ଗୁଣାଙ୍କ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ନିମ୍ନ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଆମେ ବ୍ୟବହାର କରିଛେ :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$ 

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇଲେ ଆମେ ଜାଣିବା ଯେ   କେବଳ ଏକ ଦ୍ୱିପଦ ଗୁଣାଙ୍କ ନୁହେଁ ।

${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}}$ 

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ୨ଟି କଣିକା ୩ଟି ଉପସ୍ତରରେ ରହିବାର ବିଭିନ୍ନ ସମ୍ଭାବନା ହେଲା – ୨୦୦, ୧୧୦, ୧୦୧, ୦୨୦, ୦୧୧ ଓ ୦୦୨ । ତେଣୁ ୪!/(୨!୨!) = ୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଏପରି ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$  ଅବସ୍ଥିତିର ପୁରା ବିନ୍ୟାସ ଜାଣିବାକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପସ୍ତର କଣିକାମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା କିପରି ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୁଏ ତାହାର ଗୁଣନଫଳ ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ ।

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$ 

ଏଠାରେ ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ କୁ ଆଧାର କରି ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ର ଧାର୍ଯ୍ୟ ହୋଇଛି ।

କଣିକାସଂଖ୍ୟା ଓ ଶକ୍ତିର ପରିମାଣ ସୀମିତ ରଖି ଏବଂ ମ୍ୟାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ବ୍ୟବହୃତ ପଦ୍ଧତିର ଉପଯୋଗ କରି ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ ର ଏକ ସେଟ୍ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଥିରେ Wର ପରିମାଣ ସର୍ବାଧିକ ହେବ । ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ ର ସେହି ସମାନ ପରିମାଣ ବେଳେ ${\displaystyle \displaystyle W}$  ଓ ${\displaystyle \displaystyle \ln(W)}$ ର ଏହି ସର୍ବାଧିକ ମାନ ପରିଲକ୍ଷିତ ହେବ । ଲାଂଗ୍ରାଞ୍ଜ୍ ଗୁଣକର ବ୍ୟବହାର କରି ଏହି ଫଳନକୁ ଲେଖିଲେ :

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$ 

${\displaystyle n_{i}\gg 1}$  ହେଲେ ଓ ଷ୍ଟରଲିଂଗ୍ ସନ୍ନିକଟତା ବ୍ୟବହାର କଲେ ${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$  ନିମ୍ନ ଲିଖିତ ଉତ୍ତର ମିଳିବ

${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K.}$ 

ଏଠାରେ K ହେଉଛି ${\displaystyle n_{i}}$ ର ଫଳନ ହୋଇନଥିବା ସଂଖ୍ୟାଙ୍କ ସମଷ୍ଟି । ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ କୁ ଭିତ୍ତି କରି ଡେରିଭେଟିଭ୍ ବାହାର କଲେ, ପ୍ରାପ୍ତ ଫଳର ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ ହେଲେ ଓ ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ କୁ ସମାଧାନ କଲେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ସଂଖ୍ୟାମାନ ପ୍ରାପ୍ତ କରିହେବ ।

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}}$ 

ଏକ ସମ୍ଭାବନାର ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସମ୍ପର୍କିତ ତତ୍ତ୍ୱ ହୋଇଥିବାରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । - ତଥ୍ୟ ପୁନରୁଦ୍ଧାର କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ପଦ୍ଧତି ଏହି ପରିସଂଖ୍ୟାନର ବ୍ୟବହାର କରେ ଓ ଅନିୟମିତତାରୁ ଅପସରଣ (Divergence From Randomness - DFR) ମଡେଲ୍ ଗୁଡ଼ିକରେ ଏହା ଏହା ବିଶେଷ ଭାବେ ସହାୟକ ହୋଇଥାଏ । - ୱଲ୍ଡ୍ ୱାଇଡ୍ ୱେବ୍ (WWW) ଓ ବ୍ୟବସାୟ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଅନେକ ଜଟିଳ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନୀକରଣର ନେଟୱର୍କ୍ ତତ୍ତ୍ୱ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ ।