สัจพจน์การเลือก

1904 เพื่อใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทจัดอันดับดี

เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์เสนอคำอธิบายไว้ดังนี้: ถ้ามีรองเท้าเป็นคู่ ๆ อยู่จำนวนหนึ่ง (อาจเป็นอนันต์คู่ก็ได้) คุณสามารถเลือกรองเท้าข้างซ้ายจากแต่ละคู่ได้ และนี่เป็นฟังก์ชันการเลือกที่นิยามได้โดยตรง แต่หากมีถุงเท้าจำนวนไม่จำกัดคู่ (สมมติว่าถุงเท้าไม่มีลักษณะที่จะแยกสองข้างออกจากกันได้) จะเห็นว่าไม่มีวิธีที่ชัดแจ้งว่าจะเลือกถุงเท้าอย่างไรจากแต่ละคู่ โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์การเลือก

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้สัจพจน์การเลือกโดยไม่มีข้อโต้แย้ง สัจพจน์การเลือกรวมอยู่ในทฤษฎีเซตมาตรฐานที่เรียกว่า ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลรวมสัจพจน์การเลือก (ZFC) ซึ่งเป็นทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์มาตรฐานในคณิตศาสตร์ เหตุผลประการหนึ่งที่สัจพจน์นี้ถูกยอมรับเป็นเพราะว่าผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ที่ยอมรับโดยทั่วไปจำนวนหนึ่ง เช่น ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ นั้นต้องใช้สัจพจน์การเลือกพิสูจน์ นักทฤษฎีเซตร่วมสมัยยังศึกษาสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับสัจพจน์การเลือก เช่น สัจพจน์ของการกำหนด

ในคณิตศาสตร์บางรูปแบบ เช่นคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางประเภท อาจมีการหลีกเลี่ยงไม่ใช้สัจพจน์การเลือก แม้ว่าจะมีคณิตศาสตร์เชิงการสร้างบางส่วนที่ยอมรับสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม

ฟังก์ชันการเลือก (choice function) หรือเรียกอีกอย่างว่าตัวเลือก (selector) หรือการเลือก (selection) คือฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$  ซึ่งนิยามบนคอลเลคชัน ${\displaystyle X}$  ของเซตที่ไม่เป็นเซตว่าง โดยมีเงื่อนไขว่า สำหรับแต่ละเซต ${\displaystyle A}$  ใน ${\displaystyle X}$  จะได้ว่า ${\displaystyle f(A)}$  เป็นสมาชิกของ ${\displaystyle A}$  จากนิยามดังกล่าว สัจพจน์การเลือกจะมีรูปแบบเป็น

ในรูปแบบรูปนัย สามารถเขียนสัจพจน์การเลือกได้ดังนี้

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]}$ 

ดังนั้นนิเสธของสัจพจน์การเลือกจึงกล่าวว่า จะมีคอลเลคชันของเซตไม่ว่างที่ไม่มีฟังก์ชันการเลือก

ในปี ค.ศ. 1938 ควร์ท เกอเดิลพิสูจน์ว่านิเสธของสัจพจน์การเลือกไม่ใช่ทฤษฎีบทของระบบ ZF โดยสร้างโมเดลภายใน (inner model) เรียกว่าเอกภพที่สร้างได้ (constructible universe) ที่สอดคล้องกับ ZFC จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZFC ต้องกัน (consistent) ก็ต่อเมื่อ ZF ต้องกัน และในปี ค.ศ. 1963 พอล โคเฮนใช้เทคนิคที่เรียกว่า forcing พิสูจน์ว่าสัจพจน์การเลือกไม่ได้เป็นทฤษฎีบทของ ZF ภายใต้เงื่อนไขว่า ZF ต้องกัน โดยสร้างโมเดลขึ้นมาที่สอดคล้องกับ ZF¬C (คือ ZF รวมกับนิเสธของสัจพจน์การเลือก) จึงเป็นการพิสูจน์ว่า ZF¬C ต้องกัน ผลลัพธ์ทั้งสองแสดงว่าสัจพจน์การเลือกเป็นอิสระเชิงตรรกะจาก ZF

ข้อความด้านล่างสมมูลกับสัจพจน์การเลือกภายใต้ ZF

• ทฤษฎีบทการจัดอันดับดี
• บทตั้งของซอร์น
• ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

• สัจพจน์ของการกำหนด