选择公理: 集合论概念

非正式地說，选择公理声明：給定一些盒子（可以是無限個），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具體的選擇規則”（當每個盒子都恰好只有一个小球具有某項特征）这两种情况下。關於“存在具體的選擇規則”可以透過以下例子理解：假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择，由於在鞋子之中“存在具體的選擇規則”(左边的鞋子不同於右边的鞋子)，故不需要選擇公理，仍可做出有效的選擇。然而，假设有无限双袜子，且每双袜子都没有可区分的特征，在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。

尽管曾具有争议性，选择公理現在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。現代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。

在一些構造性數學的理論中會避免选择公理的使用，不過也有的將选择公理包括在內。

首先定义几个概念：

集族：指由非空集合组成的集合。

选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族${\displaystyle X}$ 中的集合${\displaystyle s}$ ，${\displaystyle f(s)}$ 是${\displaystyle s}$ 的一个元素。

那么，选择公理表示：

对于所有的集族，均存在选择函数。

上述可表示为：

${\displaystyle \forall X\left[\emptyset \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.}$ 

或者：

设${\displaystyle X}$ 是一个集族，则存在着在${\displaystyle X}$ 上定义的一个选择函数${\displaystyle f}$ 。

该定理也可表達為：

集族上的任意笛卡尔积總是非空的。

变体

第二个版本的选择公理声称：

给定由相互不交的非空集合組成的任何集合，存在着至少一个集合，它與每个非空集合恰好有一个公共元素。

第三个版本声称：

对于任何集合${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A}$ 的幂集（減去空集）有一个选择函数。

使用这个版本的作者通常谈及“在${\displaystyle A}$ 上的选择函数”，但要注意这裡选择函数的概念是稍微不同的。它的定義域是${\displaystyle A}$ 的幂集（减去空集），因此对任何集合${\displaystyle A}$ 有意义；至於本文中其他地方用的定义，在“集合的搜集”上的选择函数的定義域是这个搜集，所以只对集合的集合有意义。透過這個變體的定義，选择公理也可以简洁的陈述为

所有集合有一个选择函数。

它等价于

对于任何集合${\displaystyle A}$ 有一个函数使得对于${\displaystyle A}$ 的任何非空子集${\displaystyle B}$ ，${\displaystyle f(B)\in B}$ 。

而选择公理的否定表达为：

有一个集合${\displaystyle A}$ 使得对于所有函数${\displaystyle f}$ （在${\displaystyle A}$ 的非空子集的集合上），有一个${\displaystyle B}$ 使得${\displaystyle f(B)\notin B}$ 。

术语（AC，ZF，ZFC）

以下列出了这篇条目中各种與“选择公理”相關的缩写：

• AC：选择公理。
• ZF：策梅洛-弗兰克尔集合论，不包括选择公理。
• ZFC：策梅洛-弗兰克尔集合论，包括选择公理。

直到19世纪晚期，选择公理的使用一直都没有得到明确声明。例如，建立了只包含非空集合的集合${\displaystyle X}$ 之后，當時的数学家可能會直接说"设对于${\displaystyle X}$ 中所有${\displaystyle s}$ 有${\displaystyle F(s)}$ 是${\displaystyle s}$ 的成员之一"。一般來说，要是不用选择公理，是不可能证明${\displaystyle F}$ 的存在性的。這一點直到策梅洛之前似乎没有引起人们的注意。

不是所有的情況都需要选择公理。选择公理对于那些没有可定义的选择才有必要。值得指出的是，对于有限集合${\displaystyle X}$ ，选择公理的有限版本可以通过其他集合论公理推导得出。在这种情况下，它等价于说我们有多个（有限数目的）盒子，每个包含至少一个物体，则我们可以从每个盒子恰好选择一个物体。顯然我们可以这么做：從第一个盒子開始，选择其中的一个物体；到下一个盒子，选择一个物体；如此类推。因为盒子數量有限，所以我们的选择过程最后一定会结束。这里给出的选择函数是明确的：第一個盒子對應于第一个選擇的物体，第二個盒子對應于第二个選擇物体；如此类推——此法之所以可行，是因为序对公理的原因。可以通过数学归纳法做出对所有有限集合的形式证明。

对于特定的无限集合${\displaystyle X}$ ，也可以避免使用选择公理。例如，假设${\displaystyle X}$ 的元素是自然数的集合。每个自然数的非空集合都有一个最小元，所以要指定我们的选择函数，我们可以简单的把每个集合映射到这个集合的最小元。这使得我们可以从每个集合明确地选择元素，以及写出一个明确的表达式，说明我们的选择函数如何取值。在能夠指定一個明确选择方式的时候，选择公理都是没有必要的。

當缺乏从每个集合得到元素的直觀选择方式时，困难就出现了。如果我们不能做明确的选择，我们如何知道我们的这个集合存在？例如，假设X是实数的所有非空子集的集合。首先我们也許想套用有限的情況去处理${\displaystyle X}$ 。如果我们尝试从每个集合选择一个元素，那么，因为實數集合是无限不可數，我们的选择过程永远不会结束。亦因如此，我们永远不能生成对${\displaystyle X}$ 的成员的选择函数。所以这種方法不能奏效。其次我们可以尝试給每个集合指定最小元素這種方式。但是某些实数的子集没有最小元素。例如，开区间${\displaystyle (0,1)}$ 没有最小元素：如果${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle (0,1)}$ 中，则${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ 也在其中，而${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ 总是严格的小于${\displaystyle x}$ 。所以這種方法也不行。

我们之所以能够从自然数的非空子集选择最小元素，是因為自然数上有一個自然良序：所有自然数的非空子集都有一个唯一的最小元素。

因此，我們可以采取這樣的思路，「即使实数的正常排序並非良序，也有可能找到一个排序使得实数是良序的。在这个排序下，總能夠选择实数非空子集的最小元素。這樣便得到了選擇函數」。问题就变成如何构造这样的排序。而事實上，“存在一个排序使得所有集合可以是良序的”這一命題成立，当且仅当选择公理为真。

有必要用到选择公理的证明总是非构造性的：即使证明給出了一个对象，精确地说出那个对象卻是不可能的。如果我们不能写出选择函数的定义，则我们的选择就不是非常明确的。这是一些数学家不喜欢选择公理的理由之一。例如，构造主义者论断说所有涉及存在性的证明都应当是完全明确的；构造任何存在的对象应当是可能的。他们拒绝选择公理^{[來源請求]}，因为它断言了不能具體描述是什么的对象的存在。

像上面讨论的那样，在ZFC中，选择公理能为一个不能明确构造出的对象给出“非构造性证明”来证明其存在性。然而，ZFC依然是在经典逻辑下被形式化的。在构造性数学领域，选择公理仍被深入研究，而當中應用的是非古典逻辑。在构造性数学的不同版本中，选择公理的狀況也有所差別。

在直觉类型论和高阶的Heyting算術中，选择公理的適當陳述（按照推導方式）可以是作為一个公理，又或者作為一个可证明的定理。埃里特‧畢夏普（英语：Errett Bishop）认为选择公理可被視作是構造性的：

但在構造性集合論（英语：Constructive set theory）中，迪亚科内斯库定理表明选择公理蘊涵了排中律（在直觉类型论中，选择公理不蘊涵排中律）。因此选择公理在構造性集合論中並非普遍被接受。在类型论中的选择公理与在構造性集合論中的选择公理的区别是，前者不具有外延性而后者具有。

一些構造性集合論的结果用到了可数选择公理或依賴選擇公理，这兩個公理在構造性集合論內並不蘊涵排中律。尽管可数选择公理在构造性數學中的应用特別广泛，它的使用也受到質疑。

可构造性公理与连续统假设都蘊涵了选择公理，更準確地說，兩者都嚴格強於选择公理。在类理论中，如冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和Morse–Kelley集合论，存在一个叫全局选择公理的公理，它比选择公理要强，因其同时也适用于真类。全局选择公理可由大小限制公理推出。

哥德尔证明了选择公理與ZF的相对协调性。保罗·寇恩用力迫法证明了选择公理独立於ZF。

引用

来源

• Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) pp. 261-81. PDF download via digizeitschriften.de

Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard Univ. Press. ISBN 978-0-674-32449-7.
• 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.
• 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.

• Gregory H Moore, "Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 978-0-387-90670-6.
• Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

• Paul Howard at EMU （页面存档备份，存于互联网档案馆）有很多人仍然在为选择公理和它的推论而乐此不疲地工作。如果你有兴趣了解更多内容，请参考这个网站。