Assioma Da La Scèrnida

« Dada una famèja da cungjuunt mia vöj, al esiist una funziú che a ognidü da luur la assocja ü dij söö elemeent. »

( Vargot ch’al sa tradüiss furmalameent par : Par cada cungjuunt C cuntegnüü in P(E) (indúeP(E)al è ul cungjuunt da le parte d'un cungjuunt E ), al esiist una funziú ${\displaystyle f:C\to E}$  cjamada funziú da scèrnida tala che : ${\displaystyle \forall X\in C,f(X)\in X}$  )

Al esiist d'otre furmülazziú, intra che le sigütante :

• Ul prudüit d'una famèja da cungjuunt mia vöj al è mia vöj
• Teurema da Zermelo : Cada cungjuunt al è bé uredenàbil (al pöö vess münii d'una strütüra da bun úrden)
• Lema da Zorn : Tütt cungjuunt indütiif al amet un elemeent massimaal

Cheest assioma al fa paart di assiòom upziunaj e cuntruversaa da la teuría di cungjuunt. In efett, l'esistenza d'un uget definii a partí dal assioma da la scèrnida a l’è mia una esistenza custrütiva, i.e. l'assioma al descriif mia cuma custrüí l'uget da che sa l’afirma l'esistenza. Inscí, dí che al esiist una basa dal spazzi veturiaal da le funziú cuntínüe al permett in nissüna manera da dí cuma descriif una tala basa. Da cheest puunt da vista, l'assioma da la scèrnida al pöö parí d'un interess limitaa e al è par cheest che di matemàtich sa i mustra plüü satisfaa d'una démustrazziú s'i pöö evitá da fá recuurs a cheest assioma da la scèrnida. Però la plüüpaart di matemàtich i dröva’l senza reticenza particülara.

L'assioma da la scèrnida al fa mia paart dal zöögh d'assiòom da la teuría di cungjuunt ZF. Sa la cjama teuría ZFS, la teuría ZF münida in plüü dal assioma da la scèrnida.

• Al síes ${\displaystyle \varphi }$  una aplicazziú sürgetiva d'un cungjuunt ${\displaystyle E}$  sü un cungjuunt ${\displaystyle F}$ . Alura al esiist una aplicazziú ingetiva da ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle E}$ . In efett, par tütt ${\displaystyle y}$  da ${\displaystyle F}$ , cunsidéremm la paart ${\displaystyle C_{y}=\varphi ^{-1}(\{y\})}$  da E, custitüida dij antecedeent da ${\displaystyle y}$  par ${\displaystyle \varphi }$  e ${\displaystyle C}$  ul cungjuunt da chesta paart ${\displaystyle C_{y}}$ . Dapress l'assioma da la scèrnida, al esiist una funziú da scèrnida ${\displaystyle f:C\to E}$  tala che, par tütt ${\displaystyle y}$  da ${\displaystyle F}$ , sa àbies ${\displaystyle f(C_{y})\in C_{y}}$ . Síes-la alura ${\displaystyle \psi :F\mapsto E}$  definida par ${\displaystyle \psi (y)=f(C_{y})}$ . ${\displaystyle \psi }$  la socja a cada elemeent ${\displaystyle y}$  da ${\displaystyle F}$  un antecedeent particülaar da ${\displaystyle y}$  par ${\displaystyle \varphi }$ . Sa pöö alura vérifiá che ${\displaystyle \psi }$  al è ingetiva.

A nutá che, inversameent, si ${\displaystyle \psi }$  a l’è una aplicazziú ingetiva da ${\displaystyle F}$  mia vöj in ${\displaystyle E}$ , alura al esiist una aplicazziú sürgetiva ${\displaystyle \varphi }$  da ${\displaystyle E}$  in ${\displaystyle F}$ , però cheest resültaa al dröva mia l'assioma da la scèrnida. In efett, cuma che ${\displaystyle F}$  al è mia vöj, al esiist ${\displaystyle a}$  in ${\displaystyle F}$ . Al è assée alura da definí ${\displaystyle \varphi }$  da la manera sigütaant. ${\displaystyle \varphi (x)=y}$  si ${\displaystyle x}$  al gh’a cuma antecedeent (ünich) ${\displaystyle y}$  par ${\displaystyle \psi }$ , e ${\displaystyle \varphi (x)=a}$  si ${\displaystyle x\not \in \psi (F)}$ .

• Al síes R una relazziú d'equivalenza definida par : ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ,xRy\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} }$ . Sa l definiss ul cungjuunt S cul töö ü e noma ü elemeent da cada classa d'equivalenza. Par vargot fá, s’è ubligaa a druvá l'assioma da la scèrnida par che sa la cugnuss mia da funziú ch’a la daga indrée ü e noma ü elemeent da cada classa d'equivalenza, dunca sa pöö noma afirmá l'esistenza da cheest cungjuunt par che sa è mia bú da ‘l custrüí in pràtica. Par di esempi cuncrets, vidé Cungjuunt mia mesüràbil.

• Ul cungjuunt esteriuur ${\displaystyle *R}$  di ipereaj al deef la suva esistenza a l'assioma da scèrnida

Al esiist di furme flébil dal assioma da la scèrnida che ul matemàtich al dröva üsüalameent, la plüüpaart dal teemp senza s'en acòorg, a maanch da vess lògicih u « custrütivista »; i serviss a « custrüí » da le sequenze.e i è assulüdameent indispensàbile par esponn a la manera üsüala i fundameent da l'anàlisi.

Assioma da la scèrnida cüntàbil

Cheest assioma, scürtaa in « AD », al è la restrizziú dal assioma da la scèrnida a le famèje cüntàbile :

« Dada una famèja cüntàbil da cungjuunt mia vöj, al esiist una funziú che a ognidü da luur la socja ü dij söö elemeent. »

Al è par esempi druvaa par demustrá che una funziú f definida sü R a l’è cuntínüa in 0 si e noma si f(x_n) al teend veers f(0) par cada sequenza (x_n) tendeent veers 0. Al permett apó da demustrá che un prudüit cüntàbil da spazzi cumpat al è cumpat, u amò ul teurema da Hahn-Banach par un spazzi da Banach separàbil.

Assioma da la scèrnida dependeent

Cheest assioma, scürtaa in « DS », al assüra che, si R al è una relazziú sü un cungjuunt mia vöj E verifiaant

${\displaystyle \forall x\in E\ \exists y\in E\ xRy}$ ,

al esiist una sequenza (x_n) d'elemeent da E tala che

${\displaystyle \forall n\ x_{n}Rx_{n+1}}$ .

L'assioma DC implica l'assioma AD, senza che cheest chí al síes évöjnt. Al è par esempi druvaa in assioma da fundazziú e plüü generalameent relazziú bé fundade par stabilí l'equivalenza da dò definizziú.

Liamm internes

Par plüü da detaj : teuría assiumàtega di cungjuunt.

Resültaa liaa a l'assioma da la scèrnida :

• Lema da Zorn
• Teurema da Zermelo
• Teurema da la basa incumpleta

Una strana cunseguenza dal assioma da la scèrnida : Ul Paradoss da Banach-Tarski

Liamm da fö