Assiòma Ëd Selession

A fortiss che se ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ a l'é na famija d'ansem nen veuid, a-i é na fonsion ëd selession për ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, visadì na fonsion ${\displaystyle f}$ dont ël domini a l'é ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ e ch'a l'ha la proprietà che ${\displaystyle f(X)\in X}$ për tuti j'${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$.
A diferensa da j'àotri assiòma ch'a fortisso l'esistensa d'ansem (cobia, separassion, union, potensa, infinì, rampiass), l'assiòma ëd selession a l'é nen costrutiv, përchè a dà nen na descrission dl'ansem (ant ës cas sì, dla fonsion) dont a fortiss l'esistensa. A l'é për lòn che vàire matemàtich a preferisso nen dovrelo o, cand ch'a lo deuvro, armarché ciàir andoa a l'é dovrà.
La teorìa dj'ansem ëd Zermelo-Fraenkel a ven ciamà ZF. An giontand-je l'assiòma ëd selession a l'é denotà ZFC.

Equivalent dl'assioma ëd selession

A-i son vàire afermassion che ant la teorìa ZF a son equivalente a l'assiòma ëd selession. An efet, l'enonsià originari postulà da Zermelo a fortìa che, për minca famija ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ d'ansem nen veuid a doi a doi disgionzù, a esist n'ansem seletor, visadì ch'a rancontra minca mèmber d'${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ an n'ùnich element.

Ij prinsipaj

Ij prinsipaj equivalent ëd l'assiòma ëd selession a son:

Lema ëd Zorn

Si X a l'é n'ansem parsialman ordinà andoa che tute le caden-e a son magiorà, antlora X a l'ha n'element massimal.

Prinsipi dël bon ordinament

Ël prinsipi dël bon ordinament, o teorema ëd Zermelo, a fortiss che minca ansem a l'ha 'n bon ordinament, visadì n'ordinament andoa tuti ij sot-ansem nen veuid a l'han ën mìnim.

Na conseguensa d'ës prinsipi-sì a l'é che minca ansem infinì a l'ha cardinalità ugual a chèich ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$, anté che ${\displaystyle \alpha }$ a l'é 'n nùmer ordinal.

Teorema ëd Tychonov

Ël prodot dë spassi squasi-compat a l'é squasi-compat.

D'àutri equivalent

Prinsipi dla caden-a massimal

An minca ansem ordinà (ëd fasson parsial) a-i é na caden-a massimal rëspet a l'anclusion.

Coerensa e indipendensa

An giontand-je l'assiòma ëd selession o soa negassion a la teorìa ZF a-i é gnun privo ëd creé ëd contradission. Sòn, mersì ai doi teorema sì da press:
Teorema (ëd Gödel; l'arzultà a l'é nonsià ant ël 1938, na trassa dla dimostrassion a seurt dël 1939, ij detaj a son publicà dël 1940). Si ZF a l'é na teorìa coerenta, ëdcò ZFC a-l l'é.
Teorema (ëd Cohen, 1963). Si ZF a l'é na teorìa coerenta, ëdcò ZF+${\displaystyle \neg }$AC a-l l'é.

Prinsipi ëd selession déboj

A-i son ëdcò ëd forme pì déboj dl'assiòma ëd selession ch'a ven-o mincatant dovrà al pòst ëd col pien (për esempi cand as gionto d'àutri assiòma a la teorìa ch'a sarìo an contrast con l'assiòma pien). Dontré dij pì comun a son:

Prinsipi dle selession dipendente (DC)

Si ${\displaystyle E}$ a l'é na relassion binaria ansima a n'ansem nen veuid ${\displaystyle A}$ e për qualsëssìa ${\displaystyle a\in A}$ a-i é un ${\displaystyle b\in A}$ con la proprietà che ${\displaystyle aEb}$, antlora a-i é na sequensa ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ an ${\displaystyle A}$ ch'a l'ha la proprietà che ${\displaystyle a_{n}Ea_{n+1}}$ për tuti j'${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Prinsipi dle selession numeràbij (${\displaystyle AC_{\omega }}$)

A l'é l'assiòma ëd selession limità a cand la famija ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ a l'é numeràbil.

Ël prinsipi dle selession numeràbij a l'é pì débol dël prinsipi dle selession dipendente, ma an efet vàire arzultà dont la dimostrassion natural a deuvra DC a son conseguensa, con chèich ësfòrs an pì, d'${\displaystyle AC_{\omega }}$.

Ël debà an sl'assiòma

L'assiòma ëd selession a l'ha fàit dlongh nasse dle discussion pen-a ch'a l'é stàit formolà. Già dël 1905, ël Bulletin de la Société mathématique de France a publicava un debà antra Baire, Borel, Hadamard e Lebesgue an sl'assiòma ëd Zermelo e, dl'istess ann, vàire artìcoj dij Mathematische Annalen a son ëstàit consacrà a cost argoment. Antra ij pì goregn opositor dl'assiòma a-i ero Baire, Borel e Lebesgue.

A venta dì che, già prima ch'a fussa formolà con precision da Zermelo, l'assiòma ëd selession a l'era stàit dovrà vàire vire ëd fasson amplìssita an matemàtica clàssica, an particolar ant l'anàlisi. Tutun, tute coste aplicassion clàssiche a peulo esse giustificà an basand-se mach an sl'assiòma dle selession dipendente e, an efet, la pì part a l'han mach damanca dël pì débol prinsipi dle selession numeràbij.