Ikkje-Lineært System

Mindre teknisk sagt er eit ikkje-lineært system problemstillingar der variabelen eller variablane som skal løysast ikkje kan skrivast som ein lineær kombinasjon av sjølvstendige komponentar. Eit ikkje-homogent system, som er lineært bortsett frå at ein har ein funkasjon av sjølvstendige variablar, er ikkje-lineært i følgje den strenge definisjonen, men slike system vert vanlegvis studert i lag med lineære system, sidan dei kan transformerast til lineære system med fleire variablar.

Ikkje-lineære problemstillingar er til interesse for fysikarar og matematikarar, sidan dei fleste fysiske system i seg sjølv er ikkje-lineære. Ikkje-lineære likningar er vanskelege å løyse og er opphav til interessante fenomen som kaos. Vêret er kjend for å vere ikkje-lineært, og berre små endringar i ein liten del av systemet kan skape kompliserte effektar gjennom heile systemet.

I matematikk er ein lineær funksjon ${\displaystyle f(x)}$  ein som oppfyller følgjande krav:

• additivitet, ${\displaystyle \textstyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y);}$ 
• homogeneitet, ${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x).}$ 

(Additivitet impliserer homgenitet for alle rasjonale α, og for kontinuerlege funksjonar for alle reelle α. For eit komplekst α følgjer ikkje homgenitet direkte av addivitet.

Ei likning skrive som

${\displaystyle f(x)=C\,}$ 

vert kalla lineær om ${\displaystyle f(x)}$  er ein lineær funksjon (som definert over) og ikkje-lineær elles. Likninga vert kalla homogen om ${\displaystyle C=0}$ .

Definisjonen ${\displaystyle f(x)=C}$  er særs generell sidan ${\displaystyle x}$  kan vere kva matematisk objekt som helst (tal, vektor, funksjon osv.) og funksjonen ${\displaystyle f(x)}$  kan bokstavleg talt vere alle typar funksjonar, inkludert integrasjon eller differensiering med tilknytte vilkår (som til dømes grensevilkår). Om ${\displaystyle f(x)}$  inneheld differensiering av ${\displaystyle x}$ , vil resultatet bli ei differensiallikning.

Generelt kan ikkje-lineære algebraiske problem ofte løysast nøyaktig, og om dei ikkje kan det, så kan dei likevel ofte bli godt forstått gjennom kvalitative eller numeriske analysar. Ta til dømes likninga

${\displaystyle x^{2}+x-1=0\,}$ 

som kan skrivast som

${\displaystyle f(x)=C\quad {\mbox{where}}\quad f(x)=x^{2}+x\quad {\mbox{and}}\quad C=1\,}$ 

og er ikkje-lineær fordi ${\displaystyle f(x)}$  ikkje oppfyller kravet om additivitet eller homogenitet. (ikkje-lineariteten kjem av ${\displaystyle x^{2}}$ ). Sjølv om han er ikkje-lineær, kan denne likninga løysast nøyaktig (med hjelp av andregradslikning) og er godt forstått. På den andre sida har ikkje den ikkje-lineære likninga

${\displaystyle x^{5}-x-1=0\,}$ 

eit nøyaktig svar (sjå kvintisk likning), men kan analyserast kvalitativt og er godt forstått, til dømes gjennom å lage ein grav og undersøke røtene til ${\displaystyle f(x)-C=0}$ .

Eit ikkje-lineært rekursjonsforhold definerer ledd som følgjer etter kvarandre i ein sekvens som ein ikkje-lineær funksjon av dei føregåande ledda. Døme på slike er logistisk likning og forhold som definerer forskjellige Hofstadtersekvensar.

Eit system av differensiallikningar er sagt å vere ikkje-lineært om det er ikkje er eit lineært system. Problemstillingar som omfattar ikkje-lineære differensiallikningar er særs varierte og metodane og analysane for å løyse dei er avhengige av problemet som skal løysast. Døme på slike likingar er Navier–Stokes-likningane i væskedynamikk, Lotka–Volterra-likingar i biologi og Black–Scholes-likningane i finans.

Ein av dei største vanskane med ikkje-lineære problem er at det genrelt ikkje er mogeleg å kombinere kjende løysingar inn i nye løysingar. I lineære problem, som tildømes ei gruppe lineært sjølvstendige løysingar, kan løysingane nyttast til å skape generelle løysingar ved hjelp av superponeringsprinsippet. Eit godt døme på dette er den ein-dimensjonale varmetransporte med Dirichlet sine grensevilkår, der løysinga kan skrivast som ein tidsavhengig lineær kombinasjon av sinuskurvar med forskjellige frekvensar. Dette gjer løysinga særs fleksibel. Det er ofte mogeleg å finne fleire særs spefikke løysingar til ikkje-lineære likningar, men sidan superponeringsprinsippet ikkje kan nyttast, kan ein ikkje finne nye løysingar.

• Ubestemtheit - ein kan ikkje føresjå oppførselen til systemet
• Multistabilitet - systemet skiftar mellom to eller fleire spesielle tilstandar.
• Aperiodiske svingingar - funksjonar som ikkje repeterer verdiar etter ein periode (òg kjend som kaotiske svingningar eller kaos)

• Ei samling ikkje-lineære modellar og demoverktøy Arkivert 2008-03-05 ved Wayback Machine.
• Command and Control Research Program (CCRP)
• New England Complex Systems Institute: Konsept i komplekse system
• Ikkje-lineær dynamikk I: Kaos på MIT's OpenCourseWare
• Ikkje-lineære modellar (MATLAB)
• The Center for Nonlinear Studies i Los Alamos National Laboratory
• FyDiK Programvare for å simulere ikkje-lineære dynamiske system