A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben
,
ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb. Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.
Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid.
A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.
Az ellipszoid térfogatát a
képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.
Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:
Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy legyen. Ekkor
és ,
így az integrálok
és
Ezzel a felszín
Helyettesítsük be most k-t, -t,
-t, és -t
az A egyenletbe. Ezzel
Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:
Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.
Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol a felszínképlet a -hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.
A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíne
Legyen és legyen az egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása.
Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne (forgástengely = z-tengely)
és az orsószferoidé (forgástengely = x-tengely)
A szferoidok felszínképletének levezetése
Lencseszferoid
b = a, tehát k = 1, ebből és
Legendre egyenletébe helyettesítve:
Orsószferoid
b = c, tehát k = 0, ebből
Legendre egyenletébe helyettesítve:
Paraméterezés
Jelölje a parametrikus szélességet, és a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:
Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol
Gömbi koordinátákkal,
Lineáris transzformációk
Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus, akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.
Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis, ami kör is lehet.
A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.
Tojás alak
A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.
Ez a geometriai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
This article uses material from the Wikipedia Magyar article Ellipszoid, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). A lap szövege CC BY-SA 4.0 alatt érhető el, ha nincs külön jelölve. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Magyar (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.