Csoportelmélet: Matematikai fogalom

A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más fontos algebrai struktúrák, mint a gyűrűk vagy a vektorterek, mind felfoghatóak műveletekkel és axiómákkal kiegészített csoportokként.

Különböző fizikai rendszerek, mint a kristályok vagy a hidrogénatom, modellezhetőek szimmetriacsoportokkal. Ezért a csoportelméletnek és az azzal közeli kapcsolatban álló ábrázoláselméletnek rengeteg alkalmazása van a fizikában és a kémiában.

Tudománytörténeti szempontból a csoportelméletnek két fő ágát vagy irányát különböztethetjük meg: egy „elméletit” és egy „alkalmazottat”. A csoportfogalom felfedezése elsősorban „elméleti” okoknak, az algebrai egyenletek vizsgálatának köszönhető. Csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Évariste Galois francia matematikus, és halála miatt 1846-ban publikálta Joseph Liouville.

Már Lagrange észrevette, hogy a gyökök permutálásának egymás utáni elvégzése ismét a gyökök egy permutációját eredményezi, sőt vannak az összes permutáción belül olyan még kisebb csoportok, melyek „együtt maradnak” (azaz a csoport elemeinek permutálása csoportbeli elemmel nem ad a csoporton kívüli elemet). Az erre irányuló vizsgálatokat Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel és Évariste Galois folytatta. Így alakult ki az első fontos csoportelméleti fogalom, a permutációcsoport fogalma. Galois ezek segítségével oldott meg egy régi és nagyon nehéz problémát, az algebrai egyenletek gyökképlettel való megoldhatóságának problémáját. A „csoport” elnevezés is tőle származik.

A csoportaxiómáknak megfelelő tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás stb.) bevezetését az angol algebrai iskola már korábban megtette; erre alapozva Arthur Cayley vezette be a csoport absztrakt fogalmát, s ezzel a csoportelmélet meghaladta a puszta permutációcsoportok elméletét (lehetővé téve a másféle, igen fontos alkalmazásokat). Cayley nevéhez fűződik annak az egyszerű tételnek a bizonyítása, hogy „lényegében minden csoport egy permutációcsoport” (reprezentációs tétel). Ő vezette be a művelettábla (Cayley-tábla)), a Cayley-gráf és a hasonló, a szemléltetést könnyítő hasznos fogalmakat. Richard Dedekind kiterjesztette a csoport fogalmát kommutatív csoportokra is.

Az első komoly alkalmazások (már ha Galois eredményét szintén elméletinek tekintjük) Felix Klein (ld. erlangeni program) és Sophus Lie nevéhez fűződnek.

A csoportelméletnek ma különösen nagy szerepe van más tudományokban is: a „kristályosodási csoportok” a kémiában és geológiában, bizonyos transzformációk szimmetriacsoportjai pedig az elméleti fizikában központi jelentőségűek.

A csoport olyan (G, ·) egyműveletes algebrai struktúra, ahol G tetszőleges nemüres halmaz, · pedig egy ·(x,y): G×G → G, azaz a G-beli elempárokhoz G-beli elemeket rendelő függvény, melyekre teljesülnek az alábbi tulajdonságok (csoportaxiómák):

Belátható, hogy bármely csoportban a neutrális elem egyértelmű, és minden elemnek pontosan egy inverze létezik.

A neutrális elemet az egyszerűség és a könnyebb szemléltethetőség kedvéért gyakran egységelemnek vagy nullelemnek nevezik.

Belátható, hogy egy (G,·) algebrai struktúra akkor és csak akkor csoport, ha teljesül A1). és a következő A2'). tulajdonság:

T1. tétel: Bármely csoportban legfeljebb egy egységelem létezik, az egységelem egyértelmű.
Biz.: Legyen e,f eleme G egységelem G-ben, ekkor tetszőleges a eleme G-re a·e = e·a = a és a·f = f·a = a is teljesül A1). szerint. Ekkor persze f-re is teljesül az a·e = e·a = a egyenlőség miatt f·e = e·f = f, e-re pedig az a·f = f·a = a egyenlőség alapján e·f = f·e = e. Minthogy az egyenlőség tranzitív reláció, e·f = f és e·f = e alapján f = e, azaz bármely két egységelem egyenlő, tehát tényleg nincs két különböző egységelem.

T2. következmény: Bármely (G,·) csoportnak pontosan egy egységeleme van.
Biz.: A2) alapján létezik egységelem, T1) alapján pedig ha létezik, akkor pontosan egy létezik, ebből következően létezik is, és pontosan egy létezik.

Egy csoport rendjén elemeinek számát értjük, és |G|-vel jelöljük.

Bővebben: Részcsoport

Ha a ${\displaystyle (G,*)}$  csoport egy ${\displaystyle H}$  részhalmaza maga is csoportot alkot a ${\displaystyle H\times H}$ -ra leszűkített ${\displaystyle *}$  művelettel, akkor ${\displaystyle (H,*')}$ -t a ${\displaystyle (G,*)}$  részcsoportjának v. alcsoportjának nevezzük (${\displaystyle *':H\times H\to H}$  a ${\displaystyle *}$  leszűkítése). A részcsoport jelölése: ${\displaystyle H$ . Részcsoportok metszete maga is részcsoport; részcsoportok uniója általában nem az.

Ha ${\displaystyle H\neq G}$ , akkor ${\displaystyle H}$ -t ${\displaystyle G}$  valódi részcsoportjának nevezzük.

Megjegyzések:

• ${\displaystyle H}$  nem lehet üres, hiszen legalább az egységelemet tartalmazza.
• ${\displaystyle H}$  rendje osztja ${\displaystyle G}$  rendjét.

Legyen ${\displaystyle H$  és ${\displaystyle x\in G}$ . Ekkor

• az ${\displaystyle xH=\{xa|a\in H\}\subseteq G}$  halmazt ${\displaystyle H}$  ${\displaystyle x}$  szerinti bal oldali mellékosztályának, illetve
• a ${\displaystyle Hx=\{ax|a\in H\}\subseteq G}$  halmazt ${\displaystyle H}$  ${\displaystyle x}$  szerinti jobb oldali mellékosztályának nevezzük.

Megjegyzések:

• Általános esetben a bal és jobb oldali mellékosztályok különböznek.
• Két bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztály vagy megegyezik vagy nincs közös elemük, és a bal oldali (ill. jobb oldali) mellékosztályok lefedik a teljes ${\displaystyle G}$ -t (azaz uniójuk előállítja ${\displaystyle G}$ -t).
• Az egyes mellékosztályok számossága megegyezik (megegyezik tehát ${\displaystyle H}$  rendjével).

Az előző szakasz megjegyzései alapján: véges csoport tetszőleges részcsoportjához tartozó mellékosztályok száma (amit a részcsoport indexének nevezünk és így jelölünk: ${\displaystyle |G:H|}$  ) osztója a csoport rendjének. ${\displaystyle H}$  rendje maga is osztója ${\displaystyle G}$  rendjének, és ${\displaystyle |G:H|\cdot |H|=|G|}$ . Ez Lagrange tétele.

Bővebben: Normálosztó

Egy G csoport N részcsoportja normálosztó ha jobb oldali és bal oldali mellékosztályai megegyeznek, azaz G minden g elemére ${\displaystyle g^{-1}Ng\subseteq N}$  teljesül. Jelben ${\displaystyle N\triangleleft G}$ .

Ekkor az N mellékosztályai által alkotott csoportot faktorcsoportnak nevezzük és G/N-nel jelöljük.

Legyen ${\displaystyle G}$  és ${\displaystyle H}$  két csoport és legyen ${\displaystyle \phi }$  : G → H olyan leképezés, hogy tetszőleges ${\displaystyle g,h\in G}$  elemekre ${\displaystyle \phi (gh)=\phi (g)\phi (h)}$ . Az ilyen ${\displaystyle \phi }$  leképezést homomorfizmusnak nevezzük. Speciálisan, ha ${\displaystyle \phi }$  bijektív, akkor a homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk, és azt mondjuk, hogy ${\displaystyle G}$  és ${\displaystyle H}$  izomorf csoportok.

Ha ${\displaystyle G=H}$ , azaz ${\displaystyle \phi }$  ${\displaystyle G}$ -t önmagára képező izomorfizmus, akkor speciálisan azt mondjuk, hogy ${\displaystyle \phi }$  a ${\displaystyle G}$  csoport automorfizmusa. Tetszőleges ${\displaystyle G}$  csoport automorfizmusai csoportot alkotnak a függvénykompozícióra mint műveletre nézve. Ennek a csoportnak a jele ${\displaystyle Aut(G)}$ , egységeleme az identikus leképezés.

Legyen ${\displaystyle \phi }$  ${\displaystyle G}$ -t ${\displaystyle H}$ -ba képező homomorfizmus. Azoknak a ${\displaystyle g\in G}$  elemeknek a halmazát, amelyekre ${\displaystyle \phi (g)=1}$ , a ${\displaystyle \phi }$  homomorfizmus magjának nevezzük és ${\displaystyle \ker \phi }$ -vel jelöljük. ${\displaystyle \ker \phi }$  elemei csoportot alkotnak, méghozzá ${\displaystyle \ker \phi }$  normálosztó ${\displaystyle G}$ -ben.

A ${\displaystyle G/\ker \phi }$  faktorcsoport izomorf ${\displaystyle \phi (G)}$ -vel. Ez az állítás homomorfizmus-tétel néven ismert.

Legyen ${\displaystyle G}$  tetszőleges csoport. Azoknak a ${\displaystyle g}$  elemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy ${\displaystyle gx=xg}$  minden ${\displaystyle x\in G}$ -re, ${\displaystyle G}$  centrumának nevezzük és (a német Zentrum szóból eredően, hagyományosan) ${\displaystyle Z(G)}$ -vel jelöljük. ${\displaystyle Z(G)}$  sohasem üres halmaz, mert ${\displaystyle 1\in Z(G)}$ , ${\displaystyle Z(G)}$  elemei csoportot alkotnak, mi több ${\displaystyle Z(G)\triangleleft G}$ . ${\displaystyle G}$  akkor és csak akkor kommutatív, ha ${\displaystyle G=Z(G)}$ .

Legyen ${\displaystyle a\in G}$ . Azoknak az ${\displaystyle x\in G}$  csoportelemeknek a halmazát, amelyekre igaz az, hogy ${\displaystyle ax=xa}$ , ${\displaystyle a}$  centralizátorának nevezzük és ${\displaystyle C(a)}$ -val jelöljük. ${\displaystyle C(a)}$  sohasem üres halmaz, mert ${\displaystyle 1\in C(a)}$ , sőt ${\displaystyle C(a)}$  csoport. ${\displaystyle C(a)}$  az a – tartalmazást tekintve – legbővebb csoport, amelyben ${\displaystyle a}$  még centrumelem; ${\displaystyle a\in Z(G)}$  ⇔ ${\displaystyle C(a)=G}$ . ${\displaystyle Z(G)}$  az összes elem centralizátorának a metszete.

Legyen ${\displaystyle (G,*)}$  csoport. Egy ${\displaystyle a\in G}$  csoportelemnek egy ${\displaystyle x\in G}$  csoportelemmel vett konjugáltját az ${\displaystyle a^{x}=x^{-1}ax}$  kifejezéssel definiáljuk.

Megjegyzések:

• A fönti definícióval ${\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}b^{x}}$ , ${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}$ , ${\displaystyle e^{x}=e}$  és ${\displaystyle a^{e}=a}$  (${\displaystyle e}$  a ${\displaystyle G}$  egységeleme, ${\displaystyle a,b,x,y\in G}$  tetszőlegesek).
• Egyes szerzők a konjugáltat az ${\displaystyle xax^{-1}}$  kifejezéssel definiálják (akkor az előző megjegyzés 2. egyenlete helyett az ${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{yx}}$  teljesül), illetve az ${\displaystyle {\tilde {a}}}$  jelölést is használják (amiből nem derül ki, hogy melyik elemmel konjugáltak).

Vezessük be ${\displaystyle G}$  elemei között a ${\displaystyle \sim }$  relációt a következőképpen: az ${\displaystyle a,b\in G}$  csoportelemekre ${\displaystyle a\sim b\iff \exists x\in G:a^{x}=b}$ . Könnyen belátható, hogy ${\displaystyle \sim \subseteq G\times G}$  ekvivalenciareláció, tehát ${\displaystyle \sim }$  szerint ${\displaystyle G}$  diszjunkt elemosztályokra bontható, amelyeket konjugáltosztályoknak nevezünk. Két csoportelem pontosan akkor van ugyanabban a konjugáltosztályban, ha azok egymás konjugáltjaiként előállíthatók.

A konjugáltosztályok általában nem részcsoportok. Egy részcsoport éppen akkor normálosztó, ha előáll teljes konjugáltosztályok uniójaként. Speciálisan a csoport centruma épp az egyelemű konjugáltosztályok uniója.

Az ${\displaystyle a}$ -t tartalmazó konjugáltosztály rendje megegyezik ${\displaystyle C(a)}$  indexével. Ezért véges csoportban a konjugáltoszályok rendje osztója a csoport rendjének. Jelölje ${\displaystyle K_{1},K_{2},...,K_{n}}$  a ${\displaystyle G}$  csoport egynél több elemű konjugáltosztályait. Mivel a konjugáltosztályok ${\displaystyle G}$ -nek partícióját alkotják, felírható az alábbi, osztályegyenletnek nevezett egyenlőség:

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+|K_{1}|+|K_{2}|+...+|K_{n}|}$ 

Itt jobb oldalon minden tag osztója ${\displaystyle G}$  rendjének.

Megjegyzés. Az osztályegyenletből egyszerű számolással következik, hogy ha ${\displaystyle |G|=p^{n}}$ , ahol ${\displaystyle p}$  prím, akkor ${\displaystyle Z(G)}$  nem egyelemű. Valóban, a ${\displaystyle K_{i}}$ -k mind oszthatók ${\displaystyle p}$ -vel, csakúgy mint ${\displaystyle |G|}$ , ezért ${\displaystyle Z(G)}$  is osztható ${\displaystyle p}$ -vel.

Bővebben: Abel-csoport

Abel-csoportnak a kommutatív csoportokat nevezzük. Ilyenek például az egy elem hatványaiból álló ciklikus csoportok. Ezekből direkt szorzással újabb Abel-csoportokat kapunk.

Ha Abel-csoportokról van szó, akkor az asszociatív műveletet sokszor összeadásnak hívják, és additív jelölést használnak.

További példák Abel-csoportokra:

• additív:
  • egész számok
  • racionális számok
  • valós számok
  • komplex számok
  • kvaterniók
  • egy adott n-nel osztható egész számok
  • egy ${\displaystyle \alpha }$  számra az ${\displaystyle \alpha }$  szám egész számszorosai
• multiplikatív:
  • racionális számok a 0 nélkül
  • valós számok a 0 kivételével
  • komplex számok a 0 nélkül

Véges Abel-csoportok alaptétele (VAT)

Egy véges Abel-csoport prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzatával izomorf. A prímhatvány rendek és a tényezők multiplicitása egyértelműen meghatározottak.

Egy csoport egyszerű, ha csak triviális normálosztója van (az egész csoport és az egységelemből álló csoport). Szokás szerint nem számítjuk az egyszerű csoportok közé a kommutatívakat, tehát az egyelemű, illetve prímrendű ciklikus csoportokat. A csoportelmélet egyik nevezetes problémája a véges egyszerű csoportok leírása, azzal a (kissé leegyszerűsített) meggondolással, hogy a véges csoportok amúgy is egyszerű csoportokból, csoportbővítéssel, állnak elő, ezért bármilyen probléma megoldható, ha megoldjuk véges egyszerű csoportokra és leírjuk a bővítéseken való viselkedését.

A véges egyszerű csoportok leírása a matematika leghosszabb bizonyítása, sokáig kb 10.000 oldal volt, de 1982-ben sikerült lerövidíteni a bizonyítást kb. 5000 oldalra. Sok matematikus dolgozott rajta sok évig, és ez a bizonyítás nem egy könyvben van leírva, hanem rengeteg egymásra hivatkozó cikk formájában matematikai folyóiratokban, amit lehetetlen teljes egészében áttekinteni, és többen kételkednek a „bizonyítás” bizonyítás voltában az olyan jellegű kereszthivatkozások miatt, hogy: „amennyiben igaz az A tétel, akkor abból következik, hogy…”.

Legyen p prím. A P részcsoport p-Sylow-csoport, ha rendje ${\displaystyle p^{h}}$ , ahol ${\displaystyle p^{h+1}}$  nem osztója a G csoport rendjének.

A Sylow-csoportokról szólnak a Sylow-tételek.

I. Tétel - Legyen a G véges csoport rendje n=m*p^h, ahol p prím, h>=1, p nem osztója m-nek. Ekkor minden k<=h van G-nek p^k rendű részcsoportja, amit normálosztóként tartalmaz egy p^(k+1) rendű részcsoport.

Meg kell még említeni a Cauchy-tételt, amit egyes felépítésekben lemmaként használnak a tételhez, míg más felépítésekben következményként adódik.

Tétel - minden olyan p prímre, amely osztja a G csoport rendjét, van p rendű elem G-ben.

II. Tétel - Adott p prímre, amely osztója a G csoport rendjének, G összes P-Sylowja konjugált. Sőt, az összes p^k rendű részcsoport konjugált egymással, ahol 1<=k<=h

Következmény - G összes P-Sylowja izomorf

Következmény - a p-Sylowok száma osztója m-nek

III. Tétel - A p-Sylowok száma p-vel osztva 1-et ad maradékul.

Számos alkalmazásuk van, erős eszközt adnak.

Egy G csoport normálláncának azokat a G részcsoportjaiból alkotott sorozatokat nevezzük, ahol minden egyes tag normálosztója az előzőnek. ${\displaystyle G=N_{0}\triangleright N_{1}\triangleright N_{2}\triangleright \dots \triangleright N_{r}=1}$ .

Itt r akár 0 is lehet.

A normállánc faktorai az ${\displaystyle N_{i}}$ /${\displaystyle N_{i+1}}$  faktorcsoportok. Két normállánc izomorf, ha faktoraik ugyanazok.

Az ${\displaystyle L_{1}}$  lánc az L finomítása, ha L összes elemét tartalmazza, és hosszabb.

A normállánc kompozíciólánc, ha tovább nem finomítható. Nem minden csoportnak van ilyen, de a végeseknek van.

Honnan ismerjük fel, hogy valóban kompozícióláncot kaptunk?

Állítás - Egy normállánc akkor és csak akkor kompozíciólánc, ha minden faktora egyszerű csoport.

Véges csoportokra van még a Jordan–Hölder-tétel a kompozícióláncokról

Tétel - Véges csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

A G csoportot feloldhatónak nevezzük ha van olyan normállánca, amelynek minden faktora Abel-csoport. Feloldható csoport minden részcsoportja és faktorcsoportja is feloldható. Legyen H G-nek normális részcsoportja. Ha G/H és H feloldható csoportok, akkor G is feloldható.

Példák:

• S_n akkor és csak akkor feloldható, ha n<5.
• Speciálisan, S₄ negyedfokú szimmetrikus csoport feloldható.
• Minden Abel-csoport feloldható.

A G csoport egy normálláncát centrálláncnak nevezünk, ha a normállánc minden eleme normálosztó a teljes csoportban, és a normállánc szomszédos elemeinek faktorcsoportja részcsoportja G centrumának. G-t nilpotensnek nevezünk, ha létezik véges centrállánca. A definícióból azonnal következik, hogy a nilpotens csoportok feloldhatóak.

Ha G nilpotens, akkor minden centrálláncának ugyanaz a hossza. Ezt a közös hosszúságot G nilpotenciaosztályának nevezzük. Minden Abel-csoport nilpotens, és nilpotenciaosztálya 1. További, kevésbé triviális példák a nilpotens csoportokra a p-csoportok. Minden véges csoport Frattini-részcsoportja is nilpotens.

Bővebben: Szabad csoport

Legyen X adott halmaz. Képezzük X elemeinek formális inverzét, ezek alkotják az X^-1 halmazt. Az X fölötti szabad csoport azokból a szavakból áll, amelyeket X és X^-1 elemeiből képezhetünk. Egyenlőnek tekintjük azokat a szavakat, amelyek xx^-1 és x^-1x alakú szavak beírásával és törlésével egymásba alakíthatók.

Állítás - ha két szó egymásba alakítható, akkor elég törölni az xx^-1 és x^-1x-eket.

A szabad csoport művelete a konkatenáció, vagyis a szavak egymás után írása. A csoport egységeleme az üres szó, amit sokszor 1 -gyel jelölnek. Egy szó inverzében ugyanazok a betűk szerepelnek, mint az adott szóban, csak megfordítva és invertálva. Belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek.

Az ${\displaystyle S_{n}}$  részcsoportjait valamilyen n pozitív egészre permutációcsoportoknak nevezzük.

Cayley tétele szerint minden véges csoport reprezentálható permutációcsoportként.

Reguláris reprezentáció: feleltessük meg h eleme G-nek a következő permutációt:

${\displaystyle f_{h}={\begin{pmatrix}1&g_{2}&g_{3}&\ldots &g_{n}\\h&hg_{2}&hg_{3}&\ldots &hg_{n}\end{pmatrix}}.\ }$ ,

ahol ${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},\dots ,g_{n}}$  a G csoport összes eleme felsorolva.

Példák permutációcsoportokra: különféle alakzatok szimmetriái: sokszögek, kocka,…

Orbit és stabilizátor

Legyen most G permutációcsoport ${\displaystyle \Omega }$  fölött.

${\displaystyle \Omega }$  egy x elemének orbitja, más néven pályája azokat az ${\displaystyle \Omega }$  -beli elemeket tartalmazza, amelyekbe átvihető valamely g eleme G vel. x stabilizátora azokból a g eleme G -kből áll, amik x -et fixen hagyják. Ez részcsoport G-ben.

Tétel - Orbit-stabilizátor tétel: x orbitjának elemszáma egyenlő x stabilizátorának indexével G -ben. (Következésképpen az orbitok elemszáma osztja a csoport rendjét.)

A G csoport tranzitív, ha ${\displaystyle \Omega }$  bármely két i,j eleméhez van g eleme G, ami átviszi i-t j -be. G n-szeresen tranzitív, ha bárhogy is írunk elő két n - est ${\displaystyle \Omega }$  elemei közül, akkor van g eleme G, ami átviszi az első n -est a másodikba. Ha G tranzitív, akkor ${\displaystyle \Omega }$  valamennyi eleme egyetlen orbithoz tartozik.

Példa - kocka szimmetriacsoportja

Legyen A a kocka egyik csúcsa. Átvihető a szomszédos csúcsokba forgatással vagy élsíkra tükrözéssel. Több lépésben akárhova. Orbitja az összes csúcs, ez 8 elem. Stabilizátorának rendjét 8-cal szorozva a kocka szimmetriacsoportjának rendjét kapjuk.

Hatás

Legyen G csoport. G hat az X halmazon, ha teljesülnek a következők:

• ha g elemeG, x eleme X, akkor gx eleme X,
• gh*x=g*(h*x)
• 1 egységeleme G-nek, 1*x=x

Példák

• a G csoport hat önmagán balról vagy jobbról szorzással
• a G csoport hat önmagán konjugálással
• a kocka permutációcsoportja hat a kocka élein, lapjain

• A megalázott géniusz, YOUPROOF
• Alice és Bob - 24. rész: Alice és Bob komolyabb fegyverekhez nyúl
• Alice és Bob - 25. rész: Alice és Bob fontos párhuzamokat talál

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Fried Ervin: Algebra I.
• Pelikán József: Algebra I.