Razlomak

Jednostavni ili obični razlomak je količnik koji se dobiva dijeljenjem cijelog broja prirodnim. Zapisuje se pomoću kose crte kao npr. 7/4 ili pomoću vodoravne razlomačke crte npr. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$.

Skup svih brojeva koji se mogu zapisati pomoću jednostavnog razlomka zove se skup racionalnih brojeva, a označava se znakom ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Djeljenik se zove brojnik razlomka, a nalazi se lijevo od kose crte ili iznad razlomačke crte. Djelitelj se zove nazivnik razlomka, a nalazi se desno od kose crte ili ispod razlomačke crte.

Pravi razlomak je razlomak čija je apsolutna vrijednost manja od 1, npr. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ . Apsolutna vrijednost nepravog razlomka veća je ili jednaka 1, npr. ${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}}$ .

Miješani broj suma je cijelog broja različitog od nule i pravog razlomka. Suma je prikazana bez znaka plus "+". Na primjer, ako imamo dvije torte i tri četvrtine treće torte, imamo ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}}$  torte. Nepravi razlomak ${\displaystyle {\tfrac {d}{c}}}$  pretvaramo u miješani broj ${\displaystyle a{\tfrac {b}{c}}}$  tako da podijelimo brojnik s nazivnikom, tada je cijeli dio količnika a, ostatak je b, a nazivnik c ostaje isti kao na početku.

Dvojni razlomak je razlomak kojemu su brojnik i nazivnik razlomci. Pojednostavljuju se u jednostavan razlomak tako da je novomu razlomku brojnik umnožak vanjskih brojeva, a nazivnik umnožak unutarnjih brojeva. Alternativno, možemo najdulju razlomačku crtu zamijeniti znakom za dijeljenje pa podijeliti dobivene razlomke:

${\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}}$ 

Ako je brojnik ili nazivnik dvojnog razlomka cijeli broj tada ga pišemo u obliku razlomka s nazivnikom 1:

${\displaystyle {\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\cdot {\tfrac {3}{1}}=24.}$ 

Omjer

Razlomak se može pisati i u obliku omjera npr. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}=a:b}$ , za koji vrijedi:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$ 

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$ 

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$ 

${\displaystyle (a,b):(c,d)=(ad,bc){\text{ (za c ≠ 0)}}}$ 

Proširivanje razlomaka

Razlomak proširujemo tako da njegov brojnik i nazivnik pomnožimo nekim cijelim brojem c. Prošireni razlomak je jednak početnom razlomku.

${\displaystyle {\frac {3}{7}}={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {2}{2}}={\frac {3\cdot 2}{7\cdot 2}}={\frac {6}{14}}}$ 

Skraćivanje razlomaka

Razlomak skraćujemo tako da njegov brojnik i nazivnik podijelimo nekim cijelim brojem c. U pravilu su brojnik i nazivnik djeljivi brojem c. Skraćeni razlomak jednak je početnom razlomku.

${\displaystyle {\frac {5}{10}}={\frac {5:5}{10:5}}={\frac {1}{2}}}$ 

Parnost nazivnika

Vjerojatnost da je nazivnik nekog razlomak paran iznosi 1 : 3 jer imamo tri mogućnosti za brojnik i nazivnik: oba su neparna; brojnik je paran, a nazivnik neparan; brojnik je neparan, a nazivnik paran. Ne promatramo slučaj kad su i brojnik i nazivnik parni, jer se tada razlomak može skratiti i u tom slučaju brojnik ili nazivnik je neparan.

Recipročna vrijednost

Ako imamo jednostavni razlomak ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ , recipročna vrijednost iznosi mu ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ . Recipročna vrijednost cijelog broja a iznosi ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$ . Recipročna vrijednost broja oblika jednostavnog razlomka ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$  iznosi a.

Zbrajanje i oduzimanje

Prilikom zbrajanja i oduzimanja, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. On je najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički nazivnik, brojnici se zbroje ili oduzmu ovisno o operaciji.

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 4}{3\cdot 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$ 

Ako zbrajamo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak s nazivnikom 1 te normalno svodimo na zajednički nazivnik te ih zbrojimo.

${\displaystyle {\frac {3}{4}}+2={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{1}}={\frac {3}{4}}+{\frac {8}{4}}={\frac {11}{4}}=2{\frac {3}{4}}}$ 

Množenje

Množenje dvaju razlomka

Razlomci se množe tako da im se pomnože brojnici te nazivnici. Umnožak brojnika postaje brojnik rezultata, a umnožak nazivnika postaje nazivnik rezultata.

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{12}}}$ 

Prilikom množenja dvaju ili više razlomaka bilo koji brojnik smije se pokratiti s nekim nazivnikom.

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\cdot {\tfrac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\tfrac {1}{1}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}}$ 

Množenje razlomka cijelim brojem

Cijeli broj zapisujemo u obliku razlomka s nazivnikom 1 te normalno množimo brojnike i nazivnike.

${\displaystyle 6\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}}$ 

Dijeljenje

Razlomke dijelimo tako da djeljenik pomnožimo recipročnim djeliteljem.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$ 

Uspoređivanje

Razlomke možemo usporediti tako da ih svedemo na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Ako imamo mješovite brojeve, zapišemo ih u obliku nepravih razlomaka, svedemo ih na zajednički nazivnik te im usporedimo brojnike. Primijetimo da ne moramo svesti na zajednički nazivnik jer on ne sudjeluje u uspoređivanju brojnika. Zato razlomke ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$  i ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$  uspoređujemo unakrsno. Ako je a · d < b · c, drugi je razlomak veći. Ako je a · d > b · c, prvi je razlomak veći. Inače, razlomci su jednaki.

Ovdje ćemo potanko dokazati svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja razlomaka. Nakon kojih će se, ma kako složen bio, svaki razlomak moći izračunati.

Napomena. Radi jednostavnosti, a bez smanjenja općenitosti, sve varijable koje budemo koristili bit će prirodni brojevi.

1. Svojstvo zbrajanja

• ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$ . Kako smijemo zbrajati samo polovine s polovinama, trećine s trećinama, ..., takvo pravilo vrijedi i ovdje. Brojevima ${\displaystyle b,d}$  nađemo ${\displaystyle V(b,d)}$  odnosno najmanji zajednički višekratnik, ili ih jednostavno pomnožimo, iz čega slijedi pravilo. Ovdje smo koristili očitu jednakost ${\displaystyle {\frac {c}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}}$ .

2. Svojstvo oduzimanja

• Ovo pravilo direktno slijedi iz svojstva zbrajanja, tj. vrijedi

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}}$ .

3. Svojstvo množenja

• Izravno iz definicije razlomka slijedi ${\displaystyle {\frac {1}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{bc}}}$ .
• Dokažimo da vrijedi ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$ . Ovdje se zapravo pitamo koliko iznosi ${\displaystyle a}$ -terostruka ${\displaystyle b}$ -tina broja ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ . To je isto kao da prvo izračunamo ${\displaystyle b}$ -tinu tog broja pa ju pomnožimo s ${\displaystyle a}$ . Formalno, ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$ , što je i trebalo dokazati. Sada je jasno i da je ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1}$ .

4. Svojstvo dijeljenja

• Pogledajmo odmah primjer dijeljenja dva razlomka. Dokažimo da vrijedi ${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}}$ . Naime da imamo primjerice razlomak ${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{c}}}$ , to bi značilo da svaku ${\displaystyle a}$ -terostruku ${\displaystyle b}$ -tinu dijelimo na ${\displaystyle c}$  jednakih dijelova, dakle nazivnik postaje ${\displaystyle b\cdot {c}}$ . No, ako taj ${\displaystyle c}$  dijelimo još na ${\displaystyle d}$ -tine to znači da razlomak postaje ${\displaystyle d}$  puta veći.

Time su na jednostavan i praktičan način dokazana sva nužna i dovoljna pravila za račun s razlomcima.

Nazivnik kao kvadratni korijen

Racionaliziramo nazivnik tako da razlomak proširujemo brojem koji je jednak nazivniku razlomka.

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}}$ 

Nazivnik kao viši korijen

Ako je nazivnik oblika ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ , razlomak proširujemo s ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}^{n-1}}$ :

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt[{3}]{b}}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{b}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{{\sqrt[{\cancel {3}}]{b}}^{\cancel {3}}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{b}}}$ 

Nazivnik kao binom

Ako je nazivnik oblika a - b, razlomak proširujemo s a + b.

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}}$ 

Ako je nazivnik oblika a + b, razlomak proširujemo s a - b.

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}}$ 

Ovo možemo primijeniti i na kompleksne brojeve gdje je i ² = -1:

${\displaystyle {\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}={\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-{\sqrt {-5}}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1^{2}-{\sqrt {-5}}^{2}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1-(-5)}}={\frac {7-7{\sqrt {5}}i}{6}}}$ 

Nazivnike je uobičajeno imenovati dodavanjem nastavka -ina na kraj broja.

• Omjer
• Nastavljani razlomak
• Aritmetika